Capacidades para trabajar la geometría en primaria.

1.1.    Capacidades

·         Objetivo: trabajar contenidos geométricos de forma que puedan asimilarlos naturalmente identificándolos y reconociéndolos a partir de su observación en la realidad y de su manipulación, construcción y representación.

·         Como criterio general: se perseguirá que los alumnos puedan  verbalizar, intercambiando información y utilizando vocabulario claro y preciso.

·         Algunas consideraciones.

Juan Piaget.
Desarrollo cognitivo	Niveles de organización espacial	Relaciones que pueden ser construidas.
Periodo sensoriomotor (0-2 años)	El espacio observable, en el que se vive, responde a las necesidades sensoriales.	Espacio topológico Espacio proyectivo Espacio euclidiano o métrico.	La imagen funciona como un objeto permanente.
Periodo operacional ( 2-7 años)	Se amplía el espacio, se conocen más lugares, y podemos modificar figuras.		La imagen ya puede ser representada, pero sin conexión métrica con la realidad. Se quiere modificar.
Periodo de operaciones concretas ( 7-11 años)	El espacio es medible, cuantificable y diferente según el lugar desde donde se observe.		Sistema de referencia euclidiano, la imagen se representa más real. Se observan proporciones.
Periodo de operaciones formales (11-15 años.)	Capacidad para abstraer el espacio, en una geometría más analítica		Coordinación del sistema de referencia y el espacio métrico.

·         Listados de capacidades

1)      Aplicar las nociones de orientación espacial a la situación del propio cuerpo y de los objetos.

§  Primer paso para conocer el espacio: conocer las diferentes posiciones espaciales que puede ocupar cualquier persona u objeto en un contexto determinado.

§  Hay que insistir en los 3 niveles de dificultad trabajados en educación infantil:

I.                   Punto de referencia es el propio cuerpo del niño: se observan posiciones espaciales de otros niños o de objetos respecto de él “ el juguete está lejos de ti”

II.                El punto de referencia es un elemento ajeno al niño: se observan posiciones espaciales del niño respecto de aquellos objetos “ ponte al lado de la puerta”

III.             El punto de referencia es un elemento ajeno al niño: se observan posiciones espaciales de otros elementos también ajenos al niño.

§  1º ciclo de primaria:

¨      primeros niveles de dificultad y más atención al tercero, haciendo referencia a las siguientes nociones de orientación espacial.

Ø  Delante/ detrás.

Ø  Arriba/abajo

Ø  Izquierda/derecha

Ø  Cerca/lejos

Ø  Junto/separado

Ø  Estar entre

Ø  Estar alrededor de

Ø  Estar frente a

¨      Se trabajara con movimiento y escenificaciones, verbalmente y con representaciones gráficas.

¨      Las nociones de lateralidad (izquierda y derecha) para conseguir un dominio de esta dificultad para el niño de identifica car la lateralidad de otras personas, cuando estas no tiene la misma orientación en el espacio que él.

¨      La dificultad aumenta cuando se trata de reconocer la lateralidad de algunos objetos inanimados, sobre todo de aquellos cuya lateralidad no viene dada claramente por su forma ( ponte a la derecha de la pelota)

§  2º ciclo de primaria: deben dominar las nociones de orientación espacial y sus combinaciones con seguridad.

2)      Recorrer, organizar y dibujar trayectos y laberintos, usando el vocabulario adecuado. Interpretar y representar croquis y planos sencillos. Escalas.

§  Ampliación: del conocimiento de la orientación espacial estática trabajada en la capacidad anterior con el de la orientación espacial dinámica ( diferentes posibilidades de movimiento dentro del espacio)

§  primero se revisan los contenidos de educación infantil de trayectos y laberintos de forma intuitiva:

¨      trayecto, recorrido o itinerario: camino que se puede recorrer desde un punto inicial a uno final sin necesidad de retroceder en ningún momento.

¨      Laberinto: recorrido en el que se pueden encontrar obstáculos que nos obligan a retroceder y buscar un tramo del camino alternativo al que no se puede recorrer.

¨      Trabajo con laberintos: aplicación de movimientos por el espacio

§  Segundo, se amplía el conocimiento: respecto  de los contenidos específicos de educación primaria (croquis, planos, mapas y el concepto de escala.

¨      Croquis: diseño hecho  sin precisión ni detalle que el individuo debe analizar para ofrecer una información aproximada referente a un trayecto, paisaje, terreno u objeto.

¨      Escala (para precisar información): expresión numérica de una proporción que nos permite representar en un mapa, plano o maqueta, las distancias y dimensiones de los trayectos, terrenos, edificios, máquinas y objetos originales con total precisión.

¨      Por mapa: representación geográfica de la Tierra o parte de ella en una superficie plana.

¨      Plano: representación esquemática en una superficie plana, de un terreno, población, maquina, construcción etc.

§  1º ciclo de primaria se reanuda lo visto en infantil: construir laberintos, interpretar itinerarios, utilizar vocabulario geométrico para describirlos e interpretar, describir y elaborar croquis.

¨      Se ha de intentar que combinen el aspecto lúdico con el objetivo de trabajo que se quiere conseguir.

¨      Trabajar los recorridos:

Q    Primer paso es: Recorrer un camino real sin tomar nota de lo recorrido, solo señalizando con cuerdas o líneas el trayecto por donde se pasa y verbalizando los diferentes movimientos y cambios de dirección.

El segundo paso es representar gráficamente el recorrido en el plano de manera simultánea al desplazamiento.

Q    Recorrer un camino a partir de las indicaciones verbales o escritas (plano) proporcionadas por el maestro u otro grupo de compañeros.

Q    Recorrer un camino en la realidad y, después de realizar la actividad, señalizar el trayecto sobre el plano correspondiente verbalizando los diferentes movimientos realizados.

Q    Recorrer un camino en la realidad y, después de realizar la actividad, representar el trayecto, sobre papel en blanco, elaborando el croquis y verbalizando los diferentes movimientos realizados.

¨      Laberintos:

Q  Primero recorrer un laberinto real, hecho en clase por la maestra, con mesas y sillas, con cajas vacías…

Después representar gráficamente el laberinto en el plano de manera simultánea al desplazamiento.

Q  Recorrer  un laberinto en la realidad y realizar la actividad, señalizar el recorrido seguido sobre el esquema del laberinto verbalizando los diferentes movimientos realizados.

Q  A partir de un laberinto representan gráficamente, señalizar en él, el camino adecuado para llegar del punto de salida al punto de llegada, verbalizando los diferentes movimientos realizados.

¨      Motivación a través de: Construir sus propios laberintos (tanto en la realidad como gráficamente), por grupos, ara ser resueltos individualmente o por otro grupo.

§  Geoplano: superficie plana cuadrada y rígida en la que hay una red de pivotes en lo que se pueden enganchar gomas elásticas para representar diferentes figuras geométricas planas.

¨      Según la posición de los pivotes, los geoplanos pueden ser:

Ø  De malla cuadrada: los pivotes ocupan vértices de cuadrados iguales.

Ø  De malla triangular: los pivotes ocupan vértices de triángulos equiláteros iguales.

Ø  De malla circular: los pivotes ocupan puntos equidistantes de una o de varias circunferencias concéntricas...

§  2º ciclo de primaria: actividades semejantes a las anteriores con mayor grado de dificultad en la interpretación y elaboración de mapas, planos y croquis.

§  3º ciclo de primaria: una vez trabajadas la proporcionalidad directa y la regla de 3, se podrá hacer uso de estos conceptos para construir escalas y mejorar el trabajo con croquis, planos y mapas ( precisión)

¨      Transformar una figura de 2 dimensiones en otra de dos:

I)                   Iniciaremos con escalas de una manera muy sencilla a partir de algunas situaciones: transformar representaciones graficas en su doble mitad, triple, tercio…

II)                Situaciones problemáticas reales con escalas de mayor dificultad ( distribución de un mobiliario en el plano de una vivienda, el cálculo de la longitud de un recorrido a partir de un plano de la ciudad)

III)             Relacionar los objetos de 3D con su representación plana, actividades en las que los niños intenten dibujar a escala algunos objetos reales sencillos (mesa de estudio, la papelera, un armario de clase…)

3)      Reconocer y reproducir el orden espacial: línea y cíclico.

§  Iniciación en educación infantil: se refieren al reconocimiento y reproducción del orden espacial de puntos, complementando en 1º ciclo de primaria la idea de localización del espacio

§  En 1º ciclo:

¨      El trabajo es reproducir los siguientes ordenes, en situaciones diferentes, para hacerlos conscientes de lo que representa ordenar en el espacio, relacionar estas actividades con las transformaciones topológicas ( a pesar de las deformaciones producidas, mantienen el orden de los puntos)

Ø  Orden lineal: puntos situados sobre una línea abierta.

Ø  Orden cíclico: puntos situados sobre una line cerrada.

¨      Repasar el trabajo realizado en educación infantil con situaciones más sencillas de orden lineal y cíclico y se completan estos conceptos con cuestiones más específicas de Educación primaria (orden lineal en direcciones perpendiculares, transformaciones de orden lineal en cíclico y viceversa, y orden inverso tanto lineal como cíclico).

¨      Actividades: niños tienen que reproducir el orden marcado en una línea horizontal sobre otra vertical y al revés.

Ø  Es importante que dediquen el primer y último elementos para reproducir la ordenación adecuadamente (al aula han llegado paquetes de cartulinas de colores, debemos organizarlas en una estantería vertical siguiendo el mismo orden de colores que las plastilinas que hay en otra estantería horizontal.)

Ø  Transformar los tipos de orden, reproducir el orden de una línea cerrada en otra abierta y al revés. Necesario decidir el primer elemento y el sentido del orden para los puntos que se sitúan en la línea cerrada (transformación del orden cíclico en lineal elaborando un collar de bolas de colores que tienen enhebrar en un cordón siguiendo el modelo cerrado propuesto.

Ø  Trabajar la inversión del  orden tanto en el caso lineal como cíclico: reproduciendo el orden de los puntos en sentido inverso, modificando las posiciones primera y última y las relaciones espaciales que se establecen entre los puntos.

¨      Finaliza en primer ciclo pero si es necesario se repasa en 2º ciclo.

4)      Adquirir intuitivamente las nociones de punto, línea, superficie y espacio y reconocerlos en su entorno. ( se inicia en 1º ciclo de primaria pero no se desarrolla)

§  Educación infantil: se inició la diferencia entre: punto, línea, superficie y espacio, a partir del contacto directo (importantes para la construcción de todos los demás conceptos geométricos) y de la reflexión.

§  En educación primaria: se reanuda el contacto con ellas más matemáticamente.

¨      El maestro ha de tener claro que un punto tiene dimensión 0, una línea tiene dimensión 1, una superficie tiene 2D y el espacio 3D.

§  La percepción de los alumnos de educación primaria y educación infantil es global: aproximar al alumno a la intuición de estas abstracciones siguientes a través de objetos de la realidad para distinguir cuerpo de superficie o de línea.

¨      1º aproximarles al espacio y a los cuerpos o solidos que ocupan partes de él,

¨      2º aproximar a las superficies.

¨      3º aproximar a las líneas y puntos.

§  Mediante el trabajo geométrico realizado en el resto de capacidades durante toda primaria, se refuerza la conceptualización de estas nociones pudiéndose hablar de partes de espacio ocupado, superficies, líneas y puntos, al trabajar diferentes cuerpos geométricos y figuras planas.

§  Para la conceptualización se han de representar las nociones y hay que tener en cuenta la imposibilidad de materializar las figuras de menos de 3 dimensiones.

¨      Recta: ente infinito e ilimitado que no tiene grosor y (no se puede construir físicamente).

5)      Líneas y superficies abiertas y cerradas. Profundizar en las nociones “dentro” y “fuera”, relacionándolas con los conceptos de frontera y región.

§  En educación infantil: se han trabajado los conceptos de abierto y cerrado, aplicados a líneas y superficies de forma intuitiva y relacionándolos con la existencia o no de principio y final de las figuras (abierta, cuerda y cara de una hoja, cerradas, borde de un aro, superficie exterior de una pelota…)

§  Conceptos: relacionados con las transformaciones topológicas que deforman los objetos sin romperlos, conservando las nociones de abierto y cerrado y la región interior y exterior se les hablara del concepto de frontera (conjunto de puntos que separa en dos regiones claramente diferenciadas (interior y exterior) una línea, una superficie o el espacio y que es necesaria atravesar para ir de una región a la otra.

¨      Hablamos del espacio: la frontera será una superficie cerrada.

¨      Si hablamos de superficies la frontera será una línea cerrada aunque hay superficies en las que algunas líneas cerradas no son frontera (en las superficies de un flotador), pero no son objeto de estudio en esta etapa.

¨      Hablamos de líneas: la frontera será un punto, en las abiertas y dos puntos no consecutivos en las cerradas.

§  1º ciclo de primaria se reanudan las actividades realizadas en infantil: los niños continuaran recorriendo diferentes superficies abiertas y cerradas y se situaran dentro o fuera de ellas perfeccionando el vocabulario. Además se insistirá en situaciones en las que exista más de una frontera para que reconozcan relaciones espaciales con más de un referente.

¨      Se trabajaran después las fronteras de superficies  a través de actividades o realizando representaciones en el papel de posiciones reales vividas.

¨      Después, se trabajara la frontera tanto en líneas abiertas como en cerradas.

¨      Los niños han de dominar los conceptos de interior, exterior, dentro y fuera, frontera y región.

6)      Las líneas rectas y curvas. Posiciones de la línea recta. paralelismo y perpendicularidad de rectas.

§  En infantil ya distinguen líneas rectas de curvas tanto por tacto como por movimiento, porque es algo intuitivo.

¨      Se han trabajado también las posiciones en la línea recta: vertical, horizontal y oblicua a partir de las posiciones del cuerpo de los niños.

§  1º ciclo de primaria se presenta con lápiz y papel las líneas trabajadas en infantil, descubriendo que para representar las rectas hay que ayudarse de algún instrumento y si quieren representarla en un lugar concreto de la hoja, deberán indicar por donde debe pasar la línea recta mediante dos puntos en el papel pero nunca podremos representar la infinitud de una recta, por eso serán segmentos lo que realmente estemos representando.

¨      Se repasan los conceptos de línea recta (vertical, horizontal y oblicua) y se relacionaran con las direcciones espaciales determinadas por arriba-abajo, izquierda-derecha y oblicua.

¨      Se completara con el reconocimiento de objetos reales y la representación de algunas lugares espaciales, dominando el vocabulario asociado a ellas:

Ø  Línea quebrada: segmentos de recta concatenados no consecutivos.

Ø  Línea mixta: segmentos de recta y de curva que se unen por uno de sus extremos.

Ø  Línea espiral: línea curva descrita por un punto que gira alrededor de otro punto o eje del que se va alejando continuamente y uniformemente.

§  2º ciclo de primaria: trabajar las posiciones relativas de más de una recta situada en el mismo plano (coplanarias) para completar el conocimiento de la línea recta.

¨      Líneas:

Ø  Dos rectas paralelas (no tienen ningún punto en común): este concepto es complicado ya que está asociado al concepto infinito y además no puede representarse nunca la línea completamente.

Ø  Dos rectas secantes: se cortan en un punto

¨      Una vez trabajados los ángulos y diferenciados los rectos, introduciremos las rectas perpendiculares ( aquellas que se cortan formando ángulos rectos) y las oblicuas ( se cortan formando ángulos que no son rectos)

¨      Actividades para trabajar estos conceptos: dibujar, construir maquetas, reproducir planos,…. Y deben verbalizarse de forma correcta y se debe insistir en el trabajo con lápiz y papel para ayudar a fijarlos.

§  3º ciclo: se completara el conocimiento de las líneas rectas paralelas y perpendiculares con la utilización de instrumentos de dibujo ( escuadra y cartabón)

¨      Construcción de la mediatriz de un segmento: caso particular al trazado de líneas rectas perpendiculares donde se encontró su punto medio con una regla y trazando la perpendicularidad con la escuadra y el cartabón o con un compás y una regla (haciendo centro en los extremos del segmento y dibujando dos arcos de circunferencia con el mismo radio, que se cortan en dos puntos.

7)      Distinguir y construir superficies planas y curvas.

§  En educación infantil: se ha trabajado de manera muy intuitiva, pasando la mano sobre los dos tipos de superficies.

§  En 1º ciclo de primaria: se llega a la matematizacion de las diferencias a partir de la posibilidad o imposibilidad de dibujar líneas rectas en cualquier dirección sobre las superficies planas o curvas, respectivamente.

¨      Se trabajara de manera manipulativa, reconociéndolas a su alrededor a partir de la observación de objetos reales, construyéndolas con diferentes materiales y representándolas de manera gráfica, con lápiz y papel cuando sea necesario.

8)      Identificar, construir y dibujar ángulos en el plano. Clasificación y posiciones de los ángulos.

§  En educación infantil y en 1º ciclo de primaria: han utilizado el concepto ángulo para referirse a esquinas o puntas (vértices) de los cuerpos o figuras.

§  2º ciclo de primaria: a partir de rectas secantes para fijar la atención en las cuatro regiones que se determinan en el plano siempre que se cortan dos rectas (dos caminos que cruzan las líneas divisorias de un campo de deportes etc.), en el proceso de identificar y diferenciar estas regiones aparece el ángulo que coincida con cada una de las regiones, incluyendo las semirrectas que la determinan.

¨      El concepto ángulo también lleva implícito el de infinito.

¨      Como las regiones serán diferentes aparecerán distintos tipos de ángulos ( rectos, agudos, obtusos, llanos, cóncavos y completos)

¨      Actividades para asentar definiciones y diferencias:

Ø  Formar con los brazos y el tronco del cuerpo, las piernas, las agujas de un reloj etc. distintos ángulos.

Ø  Actividades de construcción de ángulos para visualizar los tipos de ángulos.

¨      Actividades para trabajar diferentes conceptos sin la necesidad de dibujar: se utiliza el Geoplano.

Ø  Actividades de diseño y construcción de maquetas y figuras planas para la utilización correcta del vocabulario y el trabajo de los ángulos.

Ø  Hay que tener cuidado con las posiciones de los ángulos:

à Consecutivos: tienen el vértice y un lado común y los otros dos lados están en distinta región del plano con respecto al lado común.

à Adyacentes: son consecutivos y los lados no comunes pertenecen a la misma recta.

à Opuestos por el vértice: lo tienen común y los lados de un ángulo son semirrectas opuestas a los lados del otro

Ø  Trabajar contextos concretos para visualizar estos tipos de ángulos en el trabajo de construcción de cenefas y mosaicos y en la observación de los planos de algunas viviendas.

§  3º ciclo de primaria: se completan todos estos conceptos asociando los diferentes tipos de ángulos con su amplitud angular, la medida y las unidades que se han estudiado en el tema de magnitudes y medida.

¨      Reflexionar sobre la idea de ángulo: como superficie y no dos semirrectas que lo limitan.

¨      Introducir  la idea de bisectriz de un ángulo y construirla con:

Ø  Un semicírculo graduado: encontrara su amplitud angular, se dividirá por la mitad y se marcara en el interior del ángulo un punto que corresponde a esta cantidad de grados. La recta que une este punto con el vértice del ángulo será la bisectriz.

Ø  Con compas y regla: haciendo centro en el vértice del ángulo y encontrando dos puntos, uno en cada  lado, equidistantes del vértice. Haciendo centro en estos dos puntos se dibujan dos arcos de circunferencia con el mismo radio, que se cortan en un punto. La recta que une este punto con el vértice del ángulo es la bisectriz del mismo.

9)      Localización de puntos en el plano, utilizando coordenadas cartesianas., puntos cardinales y referencias en mapas.

§  En segundo ciclo de primaria: aprovechar el juego de “hundir la flota” o para hacerles ver que necesitamos 2 datos, uno referente a la dirección horizontal y otro a la vertical, para encontrar un punto concreto en el plano (datos vienen dados en forma de letras mayúsculas y números.

¨      Como el conocimiento de las coordenadas en intuitivo a partir del juego o del plano, habrá que aproximar a los niños a la matematizacion de este, con la introducción de las coordenadas cartesianas ( Rene Descartes)

¨      El sistema de referencia se construye a partir de dos rectas perpendiculares, llamadas ejes.

¨      Los niños de este ciclo solo conocen los números naturales, por eso trabajaremos solo la parte positiva de los ejes ( primer cuadrante del plano cartesiano)

¨      Después podemos hacerles actividades en las que haya que representar en el plano diferentes lugares de la realidad para que establezcan un sistema de coordenadas que les permita situar sobre el mismo los puntos considerados.

§  En 3º ciclo introducción de los puntos cardinales y su aplicación para localizar diferentes puntos o lugares.

¨      De manera interdisciplinar y en actividades que puedan requerir orientaciones en campo abierto, se puede completar con la utilización y manejo de la brújula.

¨      Aprovechando el conocimiento de los números enteros se puede ampliar la representación de los ejes cartesianos incorporando las semirrectas correspondientes a los números negativos.

10)  Distinguir, construir y representar líneas poligonales abiertas y cerradas.

§  En 1º ciclo de primaria y relacionado con el trabajo de trayectos y laberintos podemos pedir que hagan recorridos compuestos por tramos rectos que van cambiando de dirección en diferentes momentos.

¨      Si se hace en la realidad: irán señalando el camino recorrido con un hilo o cuerda que indique por donde han pasado.

¨      Si se hace en un croquis, plano o mapa, los niños deberán dibujar los tramos rectos que constituyen el camino o itinerario seguido.

¨      Las líneas originadas en estos recorridos se llaman quebradas.

¨      Como preparación del concepto de polígono se llamaran líneas poligonales.

	Simple.	No simple.
Abierta.
Cerrada.

¨      Trabajaremos en la realidad y en representaciones planas las líneas poligonales abiertas y cerradas y las simples y  no simples, así como el vocabulario correspondiente a ellas utilizando geoplanos o listones geométricas ( compuesto por  listones de plástico o madera de distintas longitudes y colores, que se articulan unos con otros)

11)  Identificar, describir, construir y dibujar polígonos. Reconocer sus elementos básicos: lado, vértice, base, diagonal, ángulo. Clasificarlos.

§  Educación infantil: identificación, descripción, construcción y representación de triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos.

§  En 1º ciclo de primaria: identificaran triángulos, cuadrados y rectángulos en objetos reales.

¨      Se realizara un repaso de los nombre de las figuras, el recuento de sus lados y vértices y las diferencias esenciales entre ellas

¨      A partir de los objetos reales y para acercarnos a la bidimensionalidad de los polígonos, haremos un trabajo de representación graficas: situaciones sobre el papel estos objetos y recorriendo su contorno con un lápiz de madera coloreamos el interior del contorno y reconoceremos la figura representada como la porción pintada del papel.

¨      Después reflexionaremos sobre las líneas que las limitan con la intención de descubrir que son líneas poligonales cerradas simples e introduciremos el concepto de polígono como la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada simple, incluida esta línea.

¨      Se introducen los conceptos de lado y vértice, relacionándolos con los segmentos del alinea poligonal

¨      Observación de los objetos reales para la introducción de polígonos de 4 lados que no sean cuadrados ni rectángulos a partir de la observación de objetos reales y de manera análoga se introducen los rombos, romboides, trapecios y trapezoides.

Ø  Para representar las nuevas figuras el maestro deberá elegir una de las dos clasificaciones y utilizar las definiciones correspondientes. Esta elección deberá tomarse en consenso con el resto de los compañeros del centro, porque afecta a los 3 ciclos de educación primaria.

Ø  Se fijaran en el número de lados de los nuevos polígonos: observan que coincide con el de los cuadrados y rectángulos e introduciremos el nombre de cuadriláteros para referirnos a todos los polígonos de 4 lados.

¨      Se manipularan materiales didácticos estructurados para representar los polígonos y observando con ellos la superficie de los mismos, sus lados y vértices, además se construyen  con diferentes materiales (hilos, cuerdas, listones geométricos…)

¨      Se trabajara la representación gráfica de estas figuras planas, primero se puede realizar un modelo para que lo puedan copiar y más adelante dejarlos dibujar las figuras libremente a partir de las imágenes mentales.

§  2º ciclo de primaria: reforzar y completar el conocimiento de los cuadriláteros y comprobar que los conocen y diferencian en función de la clasificación elegida.

¨      Relacionando el concepto de cuadrilátero con el de paralelismo de rectas que se trabaja en el mismo ciclo.

¨      Los trapecios tienen solo un par de lados paralelos mientras que los cuadrados, rectángulos, rombos y romboides tienen dos. Por este hecho los agrupamos con el nombre de paralelogramos.

¨      Se introducen los triángulos y cuadriláteros: buscaremos objetos reales que se acerquen a los polígonos sin delimitar los lados y encontraremos polígonos con diferente número de lado. Para designarlos introduciremos el vocabulario correspondiente que vienen dado etimológicamente por el número de ángulos de la figura. (pentágono, hexágono, heptágono...)

Ø  Hay aproximaciones de polígonos que son difíciles de encontrar en la realidad (heptágono, eneágono…) en estos casos se puede recurrir a materiales didácticos.

Ø  El trabajo con materiales didácticos que representan polígonos y con los que se utilizan para construirlos se trabajaran los conceptos de diagonal y de ejes de simetría de los polígonos.

¨      Identificaran como base de los polígonos el lado que ocupa una posición horizontal inferior respecto del observador. En principio cualquier lado puede actuar como base del polígono. Excepcionalmente, en el caso del trapecio solo se consideran bases los lados paralelos.

¨      En las actividades de reconocimiento y en las de construcción de los polígonos será necesario que observen la igualdad o desigualdad de las longitudes de sus lados o de las amplitudes de sus ángulos.

Ø  Encontraran algunos que tienen iguales solos las longitudes de los lados (rombo común), otros que tienen iguales solo las amplitudes de sus ángulos (rectángulo común) y otros que cumplen las dos igualdades (cuadrado).

Ø  Introduciremos el nombre de polígonos regulares: reconocerán, construirán y dibujaran polígonos de diferente número de lados tanto regulares como irregulares.

¨      Criterio para clasificar los ángulos teniendo en cuenta la concavidad y la convexidad de estos.

Ø  Una actividad intuitiva puede incluir la movilidad de los alumnos.

Ø  Cuando se recorre la línea exterior del campo de futbol o  baloncesto del patio de su colegio, que es un polígono convexo ( el sentido de giro de los vértices siempre en el mismo)

Ø  Cuando la línea que se recorre es la de la fachada del edificio del colegio (será necesario que la planta de este sea cóncava) se observara que hay algunos vértices en los que se debe cambiar el sentido de giro con respecto al del vértice anterior.

Ø  A partir del descubrimiento de que hay dos tipos de polígonos cóncavos y convexos será necesario que los construyan, dibujen y los nombren añadiendo el apellido cóncavo o convexo  a la palabra que los identifica por su número de ángulos o de lados.

Ø  Observaran que en los cóncavos podemos encontrar por lo menos un ángulo mayor que un ángulo llano, un ángulo cóncavo.

§  3º ciclo de primaria: presentaremos  una atención más matemática a los conceptos sobre polígonos.

¨      Construcción y representación gráfica de los polígonos en este ciclo, los niños estudian la medida de la amplitud angular e intentaremos que los niños lleguen a comprobar que en un polígono convexo todos los segmentos que unen cualquier par de puntos de la figura, están contenidos en ella, pero en los cóncavos existen algunos que no lo están.

12)  Clasificaciones de triángulos y cuadriláteros.

§  2º ciclo de primaria: en las actividades de identificación, descripción, construcción y dibujo de los triángulos  encontraran distintos tipos de estas figuras y observaran sus diferencias

¨      En referencia a los lados aparecerán triángulos que tienen 3 lados iguales ( equiláteros), dos lados iguales ( isósceles) o ningún lado igual ( escalenos)

Ø  La exigencia de igualdad de al menos dos lados o de solo dos lados en un triángulo isósceles determinara si la clasificación es inclusiva o excluyente.

Ø  Los ángulos de los triángulos: tienen los tres ángulos agudos (acutángulos), un ángulo recto (rectángulo) o un ángulo obtuso (obtusángulo), comprobando por superposición la igualdad de los ángulos de cualquier triángulo equilátero por lo que recomerán  a los triángulos equiángulos, como polígonos regulares.

Ø  En los cuadriláteros y de manera análoga al desarrollado con los triángulos, los niños reflexionaran sobre la igualdad o desigualdad de las longitudes de los lados de las diferentes figuras y de las amplitudes de sus ángulos. Las condiciones siguientes nos permiten ver el cuadrado como el único cuadrilátero regular:

à La igualdad de los 4 lados en los cuadrados y los rombos y la de cada par de lados opuestos en los rectángulos y romboides. Relacionaran ente hecho con el paralelismo de lados opuestos y con el concepto de paralelogramos.

à Respecto a los ángulos observaran que los cuadrados y los rectángulos tienen 4 ángulos rectos y los rombos y romboides tienen dos opuestos agudos y los otros dos, obtusos.

§  En 3º ciclo debemos reforzar los conceptos anteriores con las clasificaciones de triángulos y cuadriláteros inclusivos o excluyentes, según la elección hecha por el claustro de profesores del colegio.

¨      Los triángulos: la clasificación en función de sus ángulos es excluyente.

Ø  cada clase de triángulos es independiente de las otras si trabajamos la excluyente

Ø  todos los triángulos equiláteros son isósceles su lo hacemos en la inclusiva.

¨      Para deducirlo: cogemos 3 listones geométricos de la misma longitud y unimos cada uno de los dos extremos de uno de ellos con un extremo de los otros dos ( señalamos con la letra A el extremo libre de uno de los listones)

¨      Si para conseguir el triángulo desplazamos el punto A s lo largo del listón horizontal, obtendremos sucesivos triángulos isósceles antes de llegar al triángulo equilátero ( punto A coincide con el extremo libre de este listón)

¨      Clasificación de los cuadriláteros atendiendo al paralelismo reforzaremos la idea de la existencia de tres clases independientes: paralelogramos, trapecios y trapezoides.

¨      En referencia a los paralelogramos

Ø  clasificación excluyente: trabajaremos la existencia de 4 clases independientes.

Ø  Clasificación inclusiva: los romboides, que contienen las clases de los rectángulos y de los rombos, que tienen en común la familia de los cuadrados.

¨      Se pueden visualizar las relaciones inclusivas mediante actividades de proyecciones de sombras:

Ø  si partimos de un romboide común y vamos modificando su posición respecto del plano de proyección de la sombra, obtenemos un rectángulo o un rombo.

Ø  si partimos de un rectángulo o un rombo podemos obtener un cuadrado en cualquiera de los dos casos.

13)   Relaciones entre los lados y entre los ángulos de un triángulo.

§  3º ciclo de primaria: como complemento de los triángulos trabajaremos las relaciones entre sus lados, comprobando que la longitud de un lado siempre es menor que la suma de las longitudes de los otros dos y mayor en su diferencia.

¨      Verlo experimentalmente utilizando listones geométricos y materiales para construir triángulos

¨      Actividades:

Ø  Proporcionan: cuerdas para cerrar un recinto triangular en el patio.

Ø  Calculo  de la longitud de un  recorrido en un mapa de carreteras: comprobar que la distancia en línea recta entre dos ciudades es menor que la que se recorre si se pasa por otra ciudad no alienada con ellas.

Ø  Objetivo: conseguir que solo conociendo las longitudes de los otros 3 lados sean capaces de afirmar razonadamente si se puede o no construir el triángulo, basando su afirmación en las relaciones numéricas entre estas longitudes.

à Para que el triángulo sea rectángulo se deberá cumplir la igualdad denominada teorema de Pitágoras.

Ø  Comprobaran manipulativamente que la suma de las amplitudes de los 3 ángulos es 180º: necesitaremos papel o cartulina, rotuladores y tijeras.

à Cada niño dibuja un triángulo sin indicaciones, luego marca los ángulos interiores y cortan la figura en tres trozos, cada uno debe contener uno de los ángulos del triángulo.

à Finalmente disponen como consecutivos los 3 ángulos señalados y se percatan que forma un ángulo llano.

¨      Se podría usar para comprobar la relación entre el número de lados de un polígono convexo y la suma de sus ángulos.

Ø  Hay que percatarse de que el polígono se puede descomponer en tantos triángulos como lados tiene y si se multiplica 180º de cada triangulo por el número de triángulos que hay, a esta cantidad se le debe restar 360º (2x180º) de los ángulos centrales, que no son ángulos del polígono.

Ø  Comprueban la relación conocida como “ la suma de los ángulos de un polígono de n lados es (n-2)x180º

14)  Identificar, describir, construir y dibujar circunferencias y círculos. Reconocer sus elementos básicos: centro, radio, diámetro.

§  En 1º ciclo de primaria: se trabajara el circulo a partir de su identificación en objetos reales que rueda

¨      para acercarnos a la bidimensional dad del circulo haremos un trabajo de representación gráfica trasladando sobre el papel los mencionados objetos y recorriendo su contorno con un lápiz.

¨      Colorearemos el interior del contorno y reconoceremos el círculo como la porción pintada del papel.

¨      Se trabajara también utilizando materiales didácticos estructurados (bloques lógicos, figuras geométricas planas…) para percatarse de que no hay vértices ni lados rectos.

¨      Habrá que verbalizar todos estos descubrimientos, para describir las características del círculo y expresar sus diferencias con los polígonos.

¨      Trabajar construcción y la representación gráfica del círculo.

§  2º ciclo de primaria: fijaremos la atención en el contorno de esta figura.

¨      Introduciremos su nombre (circunferencia) y la reconoceremos como una línea cerrada curva plana y simple.

¨      Trabajar su representación sin utilizar el compás: se ata  un lápiz a cada extremo de un cordel no elástico, se fija uno de ellos en un punto del papel y hacemos rodar el otro a su alrededor, manteniendo tensión el cordel y dibujando algunas de las posiciones que va ocupando este. Al finalizar la acción obtendremos el punto que ha marcado el lápiz fijo (centro de la circunferencia) la línea marcada por el otro lápiz (circunferencia) y algunos segmentos que unen el centro con puntos de la circunferencia (radios). Hay que destacar que el radio y el centro de una circunferencia también son el radio y el centro del círculo que esta determina.

¨      Objetivo: obtener como consecuencia que la distancia de los puntos de la circunferencia a su centro se mantiene constante y reconocer esta curva como la determinada por todos los puntos del plano que equidistan del centro. Cualquier segmento que una dos de estos puntos, pasando por el centro se llama diámetro.

§  En 3º ciclo de primaria: introducción del compás y la regla para construir y dibujar circunferencias, círculos y sus elementos básicos.

15)  Posiciones relativas de circunferencias y círculos con rectas: tangente, secante, cuerda, arco, segmento circular y sector circular.

§  2º ciclo de primaria: concepto de recta secante, cuerda y arco, que se genera cuando una recta corta a una circunferencia en dos de sus pontos.

¨      Una vez observados y trabajados estos conceptos, los pueden usar en el momento de hacer construcciones o representaciones graficas en los que intervengan.

§  3º ciclo de primaria: conceptos de recta tangente, sector circular y segmento circular. Los animaremos a buscar estas figuras en la realidad.

¨      Idea de recta tangente a una circunferencia: observar la línea recta que describiría una ciclista en la carretera y su punto de contacto con la circunferencia de cada rueda.

Ø  Para representar una situación semejante con la ayuda de un compás y una regla, será necesario que se percaten de que la circunferencia y la recta solo deben tener en común un punto ( punto de tangencia)

¨      Sectores circulares: observar figuras que los contengan (una porción de piza, e queso, de pastel…) y trasladar estos objetos sobre el papel y dibujar su contorno, coloreando el interior de este. Concentra recordar que el sector circular es toda la pieza dibujada y coloreada, no solo el contorno.

Ø  Encontrar estos sectores en representaciones de dos dimensiones como el recorrido de una puerta en un plano de una casa, un diagrama de sectores…

Ø  Insistiendo que el sector circular viene determinado por dos radios y el arco que une sus extremos.

Ø  Observar que cualquier sector circular se puede descomponer en un triángulo isósceles y en el segmento circular.

16)  Medida del contorno y de la superficie de figuras geométricas planas: perímetro y área.

§  3º ciclo de primaria: hay una parte de manipulación de estos conceptos que le han podido experimentar en el tema de magnitudes y medida.

¨      Primero trabajaremos la medida de la longitud del contorno en polígonos usando la regla tomando nota de cada una de las medidas de los lados y para saber la  cantidad final. Tendrán que sumar estas medidas ( están construyendo el concepto de perímetro)

Ø  Conclusión: el perímetro de un polígono es la suma de las medidas de las longitudes de sus lados.

¨      La longitud del contorno de una figura circular (Ej.: bidón cilíndrico del pario):

Ø  Usaremos una cuerda o una cinta métrica flexible para encontrar esta medida y obtendrán el resultado.

Ø  La actividad con lápiz y papel han de intentar resolver la duda de manera autónoma y no encontrar una manera fiable de hacerlo.

à realizaremos una búsqueda en diferentes de información y encontramos una expresión un poco innovadora para calcular esta longitud (2 por  por r) donde  es un valor cosntante, que no es fruto de la observación o de la medida de una circunferencia concreta.

à Ver si funciona, recalculando con esta expresión las medidas que si habíamos podido obtener

Ø  saber si  vale siempre igual, independientemente de la circunferencia.

à Tienen que llevar a clase objetos cuya base en algunos casos sea un circulo (con hilo, regla y calculadora) ajustaran el hilo al entorno del circulo y enterándolo y midiendo su longitud con la regla, obtendrán la longitud de la circunferencia.

à Como pueden calcular con la regla el diámetro de las circunferencias manipuladas, dividirán la longitud estimada anterior por el valor de del diámetro calculado.

à Cada alumno ha hecho los cálculos con circunferencias diferentes y todos obtendrán el valor de . Así habrán comprobado que este valor es siempre constante y la relación numérica de proporcionalidad entre la longitud de la circunferencia y la longitud del diámetro es

à Les haremos relacionar este contenido con el de números racionales, se darán cuenta de que este número tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

Ø  Encontrar el radio del bidón experimentando y llegando a la conclusión de que encontrar el diámetro es más sencilla que la de encontrar el radio cuando se desconoce el centro

Ø  Una vez encontrado el valor del diámetro habrá que dividir entre dos esta medida para saber el radio.

à Usan la expresión de la longitud de la circunferencia, se darán cuenta de que deben multiplicar por 2 el producto del radio y de  , asi que rápidamente se darán cuenta de que hay que multiplicar el diámetro por , haciendo el cálculo y comprobando que el resulta, aproximadamente, lo mismo que habían medido con la cinta flexible.

¨      Calculo del área de figuras planas:

Ø  Partirá del ya realizado para la medida de superficies.

à La superficie de una habitación rectangular, su área se obtendrá como el producto de las medidas de las longitudes de los lados.

à Reflexionaremos que en el caso del cuadrado es semejante, también el área de un  triángulo producto de la longitud de la base por la de la altura dividido entre.

à Sería conveniente comentar que en el caso de un triángulo rectángulo se suele elegir un cateto como base y el otro será la altura correspondiente.

Ø  Medir la superficie de una figura poligonal irregular que se pueda descomponer en triángulos rectángulos, cuadrados y/o rectángulos. Ej.: conocer la superficie de un piso en un plano de un parque etc.

à Por grupo y de manera autónoma, es necesario que vayan encontrando sus descomposiciones en figuras de áreas conocidas después el debate, haciendo crítica constructiva de los resultados de cada grupo, comprobaran que la medida de la superficie final es la misma.

Ø  lo mismo pero con triángulos que no sean directamente rectángulos y que deban resolver el problema de encontrar la altura haciendo perpendiculares o dividirlo en dos triángulos rectángulos, conclusión a la que deberían llegar: cualquier triangulo se puede descomponer en dos que al mismo tiempo son rectángulos, pueden calcular el área de cualquier cuadrilátero.

Ø  Reflexión respecto de los polígonos regulares de más de 4 lados. Dividirlos en figuras conocidas pero se deberá encaminar el dialogo hacia una manera de dividir los polígonos que simplifica enormemente la tarea (en triángulos iguales y que todos tengan un vértice en el centro del polígono regular). Se nos plantean dos casos en el momento de encontrar este centro:

à Polígono regular tiene un numero par de lados (ej.: hexágono): encontrar dos diagonales que sean ejes de simetría del hexágono.

◊        El punto en común de estas dos diagonales será el centro.

◊        Unir el centro con los vértices del polígono.

◊        Ya tienen dividido el polígono en triángulos isósceles cada uno de ellos formado por dos triángulos rectángulos.

◊        Trabajando diferentes ejemplos llegaremos a la conclusión de que solo el hexágono tiene triángulos que son también equiláteros.

à El polígono regular con un número impar de lados: intersecar dos ejes de simetría del polígono, deberán investigar diferentes posibilidades para encontrarlo y llegaran a las siguientes conclusiones:

◊        Conocen el concepto de eje de simetría (recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a este) y lo aplican.

◊        Encuentran el centro como punto de intersección de las bisectrices de dos ángulos interiores del polígono

◊        Encuentran como punto de intersección de las mediatrices de cualquier par de lados del polígono.

à Medir la superficie de un círculo: problema de no poder encontrar una descomponían de figuras lleva a introducir la expresión  los niños la habrán encontrado en el trabajo previo de descubrir la expresión de la longitud de la circunferencia.

◊        La comprobación experimental de esta fórmula implica la aproximación al área del circulo por sucesiones de áreas de polígonos inscritos y circunferencia lo cual queda fuera de las posibilidades de los alumnos de primaria.

17)  Identificar, describir y construir poliedros y cuerpos redondos. Reconocer sus elementos básicos: centro, radio, diámetro.

§  Educación infantil: identificación y descripción de cubos y esferas a partir de objetos reales y materiales didácticos.

§  1º ciclo de primaria: observaran y manipularan objetos reales del aula o de sus casas, en los que todas las caras sean polígonos y otros cuyas caras sean superficies curvas y otros cuyas caras sean superficies curvas y/o planas no poligonales verbalizaran las características que diferencian un tipo de objeto del otro y llegaran al descubrimiento de dos grandes grupos solidos geométricos:

¨      Los poliedros: se revisara el conocimiento del cubo, se centrara la atención en dos grandes grupos de cuerpos poliédricos: las prismas y las pirámides.

Ø  Se observaran y manipularan varios objetos reales para encontrar y verbalizar sus diferencias en número de bases y tipo de caras.

Ø  Se introducirá el vocabulario asociado a los poliedros (cara, base, arista, vértice…)

Ø  Reforzaremos con la manipulación y estudio de los materiales didácticos estructurados e iremos introduciendo la forma de designar a los prismas y pirámides en función de los polígonos de sus bases.

Ø  Prismas: introduciremos los ortoedros para referirnos a los prismas que tienen todas sus caras rectangulares por ser muy cotidianas.

¨      Los cuerpos redondos: cilindros y conos.

Ø  Observaran y manipular varios objetos reales para encontrar y verbalizar sus diferencias en número de bases, tipo de caras y reforzaran con la manipulación y estudio de los materiales didácticos.

à Con los objetos reales y materiales didácticos y para acercarnos a su tridimensionalidad se construcción de figuras permitiendo visualizar al mismo tiempo el cuerpo compacto y su desarrollo plano: Que puedan unirse.

Ø  Finalmente se volverá a reflexionar sobre qué cuerpo es todo el espacio que limitan las caras que hemos ajustado.

§  2º ciclo de primaria: se revesara el conocimiento de los cuerpos ya trabajados ampliando los prismas y pirámides cuyas bases son polígonos de este ciclo.

¨      Se insistirá en las diferencias entre los polígonos y cuerpos redondos y de los prismas, pirámides, conos, cilindros, cubos y esfera.

¨      Se reforzara con materiales didácticos específicos y la utilización correcta del vocabulario.

¨      Una vez trabajadas las ideas de radio y diámetro, se introducirán estos elementos en referencia a los cuerpos redondos.

¨      Construcción de algunos de los cuerpos estudiados para unir piezas que incluso permitan la construcción de cuerpos redondos ( material llamado poliedro)

¨      Desarrollos planos de los cuerpos y a partir de ellos que los construyan

¨      Reflexionar sobre el hecho de que el cuerpo geométrico no es vacío, sonó macizo.

¨      Intentaremos realizar construcciones de estos cuerpos con materiales que completen la idea de solido que queremos transmitir.

¨      Frontera del cuerpo se pinta superficie de la figura con un color diferente al de la plastilina y comprobar que solo hay una finísima capa pintada.

§  3º ciclo de primaria: desde la manipulación de materiales didácticos introduciremos a los elementos básicos de los cuerpos geométricos.

¨      Vértices: observaran que hay cuerpos geométricos donde todos los vértices son igual de importantes y otros donde un vértice es más representativo ( pirámides) u otros donde solo hay un vértice ( conos)

¨      Aristas: encontraran que algunas tienen todas de la misma longitud y otros que no

¨      Observaran que:

Ø  en los prismas siempre encontraremos pares de caras enfrentadas que son paralelas.

Ø  En las pirámides nunca podemos encontrar caras que lo sean, se pude diferenciar entre las caras planas cuando se trabaja el desarrollo plano y las caras curvas que se convierten en planas en el mismo caso o las que no pueden hacerlo (superficie esférica)

¨      Para tener más clara su clasificación en poliedros y cuerpos redondos y en las diferentes clases que encontramos dentro de cada uno de estos grupos Prismas y pirámides/Cilindros y conos.

¨      Completar esta clasificación estudiando los paralelepípedos (grupo particular de prismas) siguiendo patrones semejantes a los que utilizamos para clasificar los paralelogramos.

Ø  Paralelepípedos generales (caras son paralelogramos) los cubos (caras cuadradas), los ortoedros (caras rectangulares) y los romboedros (caras rómbicas). Esta clasificación puede ser:

à Inclusiva: los cubos estarán en la intersección de la clase de los ortoedros con la de los romboedros.

à Excluyente: cada clase será disjunta con las otras.

¨      Para completar intentaremos que lleguen a comprobar que un poliedro también puede ser convexo  o cóncavo, con un trabajo semejante al realizado con los polígonos.

¨      A través de las caras y aristas y basándonos en la regularidad del cubo, podemos introducir los otros cuatro poliedros regulares existentes: el tetraedro regular, el octaedro regular, el dodecaedro regular y el icosaedro regular utilizando materiales didácticos adecuados.

¨      Objetivos: utilizar el vocabulario correspondiente a los cuerpos geométricos con precisión y seguridad y que sean capaces de aproximarse de manera clara  a las definiciones académicas de los conceptos estudiados.

¨      Completar con el cálculo de las áreas lateral y total de los cuerpos geométricos estudiados, partiendo del conocimiento previo de medida de magnitudes y relacionando la magnitud volumen con las 3 dimensiones  que la definen podemos trabajar el cálculo de los volúmenes de los cuerpos mencionados en el párrafo anterior.

¨      Hay que insistir en las ideas de construcción de la expresión volumen tanto en

Ø  Prismas: se centrara la atención en la construcción de la idea de volumen a partir de la multiplicación del área de la base por la altura de estos cuerpos.

Ø  Cilindros: observar experimentalmente la relación 1/3 que hay entre el volumen de una pirámide respecto de un prisma y de un cono respecto de un cilindro, cuando tengan las misma base y altura, respectivamente.

Ø  Pirámides

Ø  Conos.

18)  Componer y descomponer figuras planas y cuerpos geométricos. Completar rompecabezas, puzles, mosaicos, maquetas…

§  Educción infantil: se ha trabajado la composición y descomposición de figuras planas.

¨      Mediante mosaicos y rompecabezas que desarrollan la visión espacial y el reconocimiento de una imagen a partir de fragmentos.

§  En primaria: se profundiza en la composición y descomposición de figuras planas.

¨      Para descubrir la realidad de los contenidos les haremos observar a su alrededor para que encuentren situaciones en las que la superficie haya sido recubierta por figuras planas (azulejos del piso, dibujos de alfombra….

¨      Situación donde las figuras no recubran todo el plano u otras en las que las figuras no sean estudiadas.

Ø  Se fijaran en aquellas en las que el plano quede recubierto por las figuras obteniendo las siguientes conclusiones:

à Situaciones de recubrimiento mediante la repetición de una única figura plana (igual forma y tamaño): no todas pueden recubrir el plano, las que si pueden hacerlo son algunos triángulos, algunos cuadriláteros y los hexágonos regulares.

à Recubrimiento mediante la repetición de varias figuras distintas: se pueden combinar figuras diferentes, no es necesario repetir solo una para recubrir todo el plano.

¨      Manipulación y creación de diferentes composiciones con figuras geométricas planas usando material didáctico que nos proporcione piezas de diferentes medidas y colores.

Ø  Conclusiones:

à Cuando dos cuadrados de la misma medida, por cualquiera de sus lados, obtenemos un rectángulo. Si lo hacemos coincidir por dos vértices cualesquiera, obtenemos una figura 0plana, que no tiene nombre conocido pero que es cóncava.

à Cuando descomponemos un cuadrado con un rectángulo hay varias posibilidades:

◊        Si hay dos lados de igual medida y los hacemos coincidir, se obtiene un nuevo rectángulo.

◊        Si no hay dos lados de igual medida à figura cóncava, que no tiene nombre.

◊        Si los hacemos coincidir por dos vértices à la figura es cóncava.

à Si son dos rectángulos.

◊        Si no tienen lados de igual medida à figura plana, cóncava, sin nombre.

◊        Tienen dos lados de igual medida à rectángulo.

◊        Si son dos rectángulos iguales.

-          Los componemos por lados de la misma medidaà rectángulos

-          El lado corto del rectángulo sea la mitad de longitud del lado largo, al componer por los dos lados largos, obtendremos un cuadrado.

à Dos triángulos el trabajo es semejante:

◊        Tienen  lados de la misma medida y los hacemos coincidir, la figura compuesta es un cuadrilátero convexo.

◊        Si no tienen la misma medida, o los hacemos coincidir por el vértice, la figura es cóncava.

Ø  Reflexionar alrededor de las figuras que se van componiendo incidiendo en las condiciones que deben darse para fomentar una nueva figura geométrica conocida.

¨      Gráficamente: se escriben a papel las actividades de observación y manipulación.

Ø  Primero se componen figuras libremente, con un aspecto plástico de elección de colores y con la condición de que la composición forme una figura continua ( importante el trabajo de verbalización que hagan, para saber en qué están fijando su atención)

Ø  Podemos modificar las actividades incluyendo restricciones:

à Han de aparecer regularidades en la composición, tanto en figuras como en colores de las figuras.

à Deben encontrarse delimitadas, o no, las figuras geométricas.

¨      Otra actividad: les proporcionaremos  figuras que se hayan obtenido por composición de formas geométricas conocidas, que podrán distinguirse directamente o no y tendrán que encontrarlas dentro de la figura dada.

Ø  El objetivo es descomponer figuras planas y se utilizara el tangram ( potencia la habilidad de imaginar composiciones y descomposiciones de figuras)

¨      Se pueden realizar actividades semejantes a las anteriores, con un mayor grado de dificultad, estudiando nuevas posibilidades y  confeccionando las piezas ellos mismos utilizando materiales.

Ø  Objetivo: reforzar el conocimiento de las nociones de orientación espacial e incidir en un resultado geométrico importante “ cualquier polígono se puede descomponer en triángulos, en el caso de los polígonos regulares, estos triángulos son isósceles y solo en el caso del hexágono regular, además de isósceles son equiláteros.

Ø  A veces la composición de figuras planas puede constituir el desarrollo plano de un cuerpo geométrico. Por lo tanto podemos llegar también a la construcción de figuras tridimensionales.

¨      Composición y descomposición de figuras tridimensional.

Ø  Habrá que  encontrar en la realidad cubos, prismas, pirámides, esferas, cilindros y conos.

Ø  El trabajo puede reforzarse con la construcción de maquetas que reproduzcan situaciones espaciales sencillas de su entorno.

Ø  Manipulación: con material didáctico continuaremos el trabajo de descubrir estas composiciones observadas en la realidad. Encontraremos relaciones de composición de figuras tridimensionales:

à Con dos cubos

◊        De igual aristaà prisma.

◊        De diferente aristaà cuerpo tridimensional.

à Con un cubo y un prisma

◊        Cualquier cara del cubo es igual a la base del prisma cuadrangular y los componemos por estas à prisma más alto.

◊        Cualquier otra combinación à cóncavo.

à Con un cubo un prisma y una pirámide

◊        Cualquier cara del cubo o la base del prisma cuadrangular es igual a la base de la pirámide cuadrangular y los componemos por estas à cuerpo convexo.

◊        Cualquier otra combinación à cuerpo tridimensional cóncavo.

à Con dos pirámides

◊        Bases son polígonos iguales y las hacemos coincidir por estas à cuerpo convexo.

◊        En cualquier potra combinación à cuerpo tridimensional cóncavo.

à Con un cilindro y un cono.

◊        Si el radio de la base del cilindro es igual al radio de la base del cono y los componemos por estas -à un cuerpo convexo.

◊        En cualquier otra combinación à cuerpo tridimensional cóncavo.

à Con dos conos.

◊        Si los radios de las bases de los conos son iguales à cuerpo convexo.

◊        En cualquier otra combinación à cuerpo tridimensional cóncavo.

§  3º ciclo:

¨      aprovecharemos las actividades anteriores para trabajar los conceptos de concavidad y convexidad de figuras tridimensionales.

¨      Trabajadas la proporcionalidad directa y la regla de 3 podrán hacer uso de estos conceptos para cosntruir el de escala y utilizarlo para mejorar el trabajo con mosaicos y maquetas con más precisión.

Ø  Se trabajara la transformación de figuras de dos o tres dimensiones en otras de dos o tres, además de intentar dibujar figuras de tres dimensiones sobre el papel.

Ø  para trabajar tres dimensiones: maqueta a escala de objetos de su alrededor: relacionar esta tarea con el concepto de semejanza donde las longitudes de los segmentos homólogos son proporcionales y la amplitud de los ángulos homólogos se conserva.

Ø  Relacionar los objetos de 3 dimensiones con su representación plana, actividades en las que intenten dibujar a escala objetos reales sencillos.

19)  Adquirir nociones de transformaciones geométricas: simetrías axiales, simetrías especulares, giros, traslaciones, semejanzas. Identificarlas en el entorno familiar y en la naturaleza, componer y dibujar figuras simétricas.

§  Educación infantil: se ha trabajado la lateralidad, las direcciones vertical, horizontal y oblicua de una manera intuitiva, incidiendo en la simetría de nuestro cuerpo a partir de un eje vertical.

§  1º ciclo de primaria: continuar con el estudio de la simetría. Los niños deben llegar a descubrir su propio eje de simetría, el de su imagen en el espejo, para encontrarlo utilizaremos la lateralidad ( derecha e izquierda)

¨      descubrimiento de la simetría en el entorno, con diferentes objetos e imágenes que sean simétricas.

¨      Manipulación: construcción de figuras simétricas utilizando algunos materiales didácticos.

¨      Gráficamente: dibujar figuras simétricas, dentro de sus posibilidades, con figuras planas sencillas y se utilizara una cuadricula.

§  En 2º ciclo de educación primaria: trabajaremos las traslaciones, giros y las simetrías.

¨      Habrá que encontrar estos movimientos en la realidad. Cuando se produce un desplazamiento, hay una traslación. Hay que resaltar que el objeto se mantienen igual (forma y medidas) en las posiciones inicial y final.

¨      Contacto con la realidad: buscamos giros en la realidad aun a sabiendas de que se puede girar el objeto sobre sí mismo o alrededor de un eje externo (imaginario o no), que se denomina eje de giro (atracciones de feria, tambor de una lavadora).

Ø  Continuaremos el trabajo de la simetría alrededor del reconocimiento en la realidad y utilizaremos material didáctico para descubrir regularidades.

¨      Manipulativa: de figuras planas los tiene que llevar a combinar este estudio de simetrías con el de giros en dos dimensiones y la relación de estos con los ángulos ( ángulo de giro)

¨      Gráfico: poder rotar objetos planos se fijaran por su centro en una superficie, en la que hablaremos marcando su contorno. Habrá que observar cuando la figura vuelve a coincidir con su silueta dibujada en la superficie. Las simetrías, al dar una vuelta completa coincidirán con el contorno dibujado tantas veces como ejes de simetría tiene.

Ø  En los polígonos regulares tantas veces como lados tienen.

Ø  En el resto de figuras, al completar la vuelta completa, solo habrán coincidido una vez.

Ø  En el círculo por muchos giros que le aplicamos siempre coincide con el contorno dibujado inicialmente. La conclusión: el círculo tiene infinitos ejes de simetría.

¨      Manipulativa: Deberán identificar si un objeto, figura o dibujo es simétrico o no. Pueden utilizar espejos para identificar rápidamente.

¨      Gráfica: Se continua con el trabajo de representación de figuras planas simétricas con la utilización de la cuadricula mientras sea necesaria.

§  En 3º ciclo de primaria: se cuantificara el desplazamiento, midiendo en el caso de las traslaciones la longitud del vector de traslación y en el caso de los giros, la amplitud del ángulo de giro. representar figuras planas, simetrías respecto de un eje

¨      Gráficamente: actividades con la ayuda de papel cuadriculado, teniendo en cuenta la dificultad que representa para los niños la utilización de ejes de simetría que no coincidan con ninguna de las direcciones de las líneas.

Ø  Luego deberán utilizar papel sin cuadricular utilizando instrumentos de  dibujo ( reglas, compas y trasportador de ángulos)

Ø  Se trabajaran las reducciones y amplificaciones proporcionales de figuras. Hay que relacionar la semejanza con el concepto de proporcionalidad.

2.     Estadística, azar y probabilidad.

2.1.    Introducción

·         Histórica.

·         modelo estadístico.

o   Tiene que haber un problema susceptible de ser resuelto con técnicas estadísticas ( no siempre se tiene que pasar por cada uno de ellos)

o   1º paso: recoger los datos: encontrar toda la información posible de ese problema.

o   2º paso, organizar la información: para que aporte información ( cálculo de medidas, índices y aportación de información  directa de la recogida)

o   3º paso, generalizaciones: hacen muchos experimentos o estudios estadísticos = y se consigue obtener regularidades generalizando = modelos que recogen generalizaciones para conjuntos de problemas semejantes.

o   4º pasó extraer información del conjunto sobre el que se había hecho un estudio si sobre la muestra utilizada se le llama regresión y solo se usan técnicas descriptivas.

2.2.    Introducción teórica

·         Recogida de datos

o   Aspectos generales.

§  Encuesta.

¨      Técnicas de obtención de datos:

Ø  Censo: estudio estadístico donde se recogen datos de toda la población.

Ø  Encuesta: estudio de investigación que permite obtener información de la población mediante una muestra representativa de esta, a partir de unos métodos estandarizados.

Ø  Trabajo de campo: conjunto que está relacionado con la recogida de datos (fechas, selección de personal…)

¨      Objetivo del estudio:

Ø  Describir y comparar: se puede tener como objetivo presentar resultados que describan el problema y comparar este estudio con otros.

Ø  Obtener conclusiones de una población mayor: elegir una muestra y estudiar las características de este conjunto de datos. A partir de ellas se inferirá información de la población mayor.

¨      Definición de los caracteres de los individuos de la población.

Ø  Los individuos tienen que presentar una característica que se quiera estudiar (variable) y está siempre debe tener una posible respuesta.

Ø  Hay que prever de que tipo son estas variables:

à Cualitativas: no se pueden precisar numéricamente.

à Cuantitativas: determinadas por una cantidad numérica

◊        Continuas: la variable puede tomar muchos valores diferentes y por tanto es recomendable agruparlos.

◊        Discretas: puede tomar pocos valores y no es necesario el agrupamiento.

§  Población y muestra

¨      Población: conjunto de personas o cosas que verifican una propiedad determinada.

¨      Individuos: cada uno de los elementos que la forman

¨      El tamaño de la población: número de elementos que la componen ( finito o infinito) y se representa con la letra n o N

¨      Subpoblación: subconjunto de la población donde los individuos reúnen ciertas características.

¨      Muestra: subconjunto de la población.

¨      Muestreo: métodos para seleccionar la muestra.

¨      Errores de muestreo:

Ø  Muéstrales; no contar con todos los elementos de la población y siempre se producirá este tipo de error si utilizamos muestras.

Ø  Sesgo: por no haber tomado los elementos de forma aleatoria.

¨      Tipos de muestreo.

Ø  Opinatico; no se puede medir la diferencia existente entre el valor observado en la muestra y el verdadero valor en la población.

Ø  Aleatorio o probabilístico: los individuos se eligen al azar porque la representatividad de la muestra se garantiza totalmente.

à Simple: cualquier elemento tiene la misma probabilidad de ser elegido durante todo el proceso.

à Irrestrictico: al inicio la misma probabilidad de ser elegido, pero una vez escogido no se puede volver a elegir.

Ø  Estratificado: los elementos de la población se dividen por estratos.

à Se elige un número de elementos de cada uno de los estratos. ( muestras de menor tamaño = más fiables)

à El tamaño de cada uno de los estratos de la muestra es proporcional al tamaño de cada uno de los estratos de la probación.

à La representatividad de la muestra se garantiza puesto que a cada uno de los estratos se les aplica el muestreo simple.

Ø  Por áreas o por conglomerados: los electos de la muestra se agrupan por conglomerados, dentro de cada uno se aplica muestreo simple.

à Puede ser el conjunto de números e una calle de una ciudad o diferentes pueblos de una comarca.

à La representatividad de la muestra garantizada al haber elegido los conglomerados por un método aleatorio.

Ø  Con comienzo aleatorio o sistemático: el primer elemento se elige al azar, el resto se selecciona de acuerdo con una regla predeterminada.

à Misma representatividad que el muestreo simple.

Ø  Secuencial: decisión por cada unidad ( o grupo de unidades)

à Esta decisión es de aceptación, rechazo o continuación de la inspección y proporciona una gran disminución en el tamaño de la muestra ay puede aprovechar una ligera pérdida de representatividad.

§  Pasos en la realización de una encuesta:

¨      Detección de un problema susceptible de ser utilizado estadísticamente, se forma claramente e indican los objetivos de la encueta. Expresándolos con la mayor precisión posible.

¨      Definición de la población a la que se efectuara la encuesta. La población que se muestrea tiene que coincidir con la población sobre la que deseamos obtener información.

¨      Determinación de las preguntas a efectuar: el menor número posible y  de fácil comprensión y las más decisivas hay que ponerlas al principio o al final del cuestionario.

¨      Métodos de medida: formas de registrar las preguntas y sus respuestas pueden permitir codificar los datos, lo cual simplifica el posterior tratamiento de los resultados.

¨      Elección de unidades de muestreo: marco (conjunto de unidades e informaciones de que se dispone para realizar la encuesta.

¨      Estratificación de la población.

¨      Selección de la muestra

¨      Estudio piloto: probarla a un grupo reducido antes de pasarla a toda la muestra.

¨      Organización del trabajo de campo.

¨      Tabulación y análisis de datos: depuración de los cuestionarios obtenidos y una valoración de las respuestas desestimadas.

§  Tipos de encuestas:

¨      Según el ámbito que abastecen:

Ø  Exhaustivas: todo el colectivo ( población)

Ø  Parciales: se utiliza una muestra que representa todo el colectivo

¨      Por la forma de obtener los datos:

Ø  Directos: se obtienen de manera específica y directa.

Ø  Indirectos: se obtienen a partir de bancos de datos de otros estudios.

¨      Según el interés del estudio:

Ø  De opinión: las preguntas pretenden conocer la opinión de una población respecto de un tema.

Ø  De hechos: las preguntas pretenden recoger datos de un acontecimiento objetivo.

Ø  Mixta: incluye preguntas que alcanzan opiniones y hechos.

o   Elaboración de la recogida y acción.

§  El cuestionario: conjunto de preguntas alrededor de los hechos o aspectos interesantes para la investigación y que son contestados por los encuestados.

¨      Podemos clasificar en:

Ø  Cuestionario individual: no hay encuestador y la tarea la realiza el encuestado.

Ø  Cuestionario lista: hay encuestador.

¨      Tipos de preguntas:

Ø  Abiertas: no está especificada la respuesta en opciones.

Ø  Cerradas: dicotomías o con respuesta de múltiples opciones (las opciones deben ser excluyentes o exhaustivas).

¨      Para formular preguntas hay que tener en cuenta:

Ø  Deben ser cómodas para los encuestados.

Ø  Deben tender a ser precisas

Ø  Es importante dejar poca iniciativa al encuestado.

¨      Recomendaciones a la hora de hacer entrevistas:

Ø  Las preguntas deben ser pocas ( no más de 30)

Ø  Preferiblemente cerradas (si son abiertas no dan opción a alternativas), sencillas, concretas y cortas.

Ø  Formularlas de manera neutral y redactarlas de forma personal y directa para que la contestación sea directa e inequívoca.

Ø  No deben ampliar esfuerzos de memoria, cálculos etc.

¨      Cuando se prepara el cuestionario, se deberían respetar:

Ø  Formulación de una hipótesis general y específica y con las preguntas se intentara contestar a esta hipótesis. Todo cuestionario tendera a validarla o invalidarla.

Ø  Determinación de las variables o características a medir.

Ø  Planificación del contenido del cuestionario.

Ø  Redacción de la preguntas.

Ø  Presentación del cuestionario, con dos consideraciones:

à Técnica: debe poderse tabular después.

à Material: si es para contestar individualmente o mediante un encuestador. Si debe haber notas aclaratorias o no...

¨      En la distribución del cuestionario hay que ser conscientes de: la recogida se hará por las mismas vías por las que se ha distribuido.

Ø  Fecha; si es por correo habrá que evitar los periodos de vacaciones etc.

Ø  Formas:

à Corro Postal

à Repartidor.

à Encuestador.

Ø  La recogida se hará por las mismas vías por las que se ha distribuido.

§  La entrevista: acto que reúne a dos o más personas, una de las cuales es la que pregunta y anota las respuestas. El encuestador puede anotar más información aparte de las respuestas (expresiones faciales, comentarios...)

¨      La entrevista es importante por ser  concreta (atención es ella misma), personal, directa y de resultados inmediatos.

¨      La entrevista con cuestionario: mas rígida = poca espontaneidad pero mucha fiabilidad.

¨      Entrevista sin cuestionario: no esta tan dirigida = más espontanea pero menos fiable.

¨      Cuestionario con encuestador:

Ø  Ventajas: la gente se compromete a contestar, permite más respuestas y puede ser dirigida a apersonas analfabetas o no.

Ø  Desventajas: influencia del encuestador puede condicionar las respuestas del individuo.

¨      Cuando se quiere ejecutar la entrevista es bueno avisar y proporcionar un clima agradable, el encuestador debe tener cualidades éticas sociales y técnicas.

¨      El vaciado de los datos de las entrevistas: se contabilizaran las preguntas con respuesta cuantitativa/ si son cualitativas se codificaran y detectaran los errores que se han podido producir.

·         Estadística descriptiva

o   Organización de datos.

§  La estadística descriptiva: recogida y posterior representación, ordenación y tabulación de los datos.

§  Dos vías:

¨      la numérica: tablas de frecuencia y medidas estadísticas.

¨      La gráfica: diagramas de barras, historiogramas, diagramas de sectores…

§  Tablas de frecuencias.

¨      Su objetivo es facilitar la lectura de los datos recogidos. Es una manera ordenada de presentar los datos y poder hacer su recuento son demasiada dificultad.

¨      Trábalas de frecuencia:

¨      Tablas de frecuencia para valores agrupados

¨      Tablas de frecuencia para datos bidimensionales.

§  Representaciones gráficas.

¨      Diagrama de barras: representación gráfica más usual para variables cuantitativas sin agrupar o para variable cualitativa.

¨      Historiogramas: equivalente al diagrama de barras para valores agrupados de la variable.

¨      Polígono de frecuencia: representación habitual de las frecuencias para variables cuantitativas con valores agrupados.

Ø  En frecuencias no acumuladas: uniendo con segmentos los puntos medios de los lados superiores e los rectángulos del historiograma.

Ø  En frecuencias acumuladas: uniendo los vértices superiores derechos de los rectángulos. En el primer rectángulo, hay que unir el extremo izquierdo inferior, con el extremo superior derecho.

Ø  Puede utilizarse para valores sin agrupar. Las representaciones análogas, con la diferencia que las barras serán separadas.

¨      Diagramas de sectores: usual para variables cualitativas. A cada modalidad o valores de la variable se le asocia el sector circular cuyo ángulo es proporcional a su frecuencia.

¨      Pictograma: se utiliza también para variables cualitativas, expresa con dibujos alusivos al tema de estudio, la altura de las figuras representadas coincide con las frecuencias correspondientes. También se puede utilizar la superficie de los dibujos.

¨      Pirámide de población: caso muy concreto de grafico estadísticos. Para estudiar con juntamente la variable edad y el atributo sexo.

¨      Nube de puntos o diagrama de dispersión: más utilización para variables bidimensionales. Consiste en representar cada pareja de valores por un punto del plano. Cuando una pareja esta repetida, se indica, junto a la representación correspondiente, el valor de la frecuencia.

¨      Otras representaciones graficas menos frecuentes: gráficos con columnas divididas, con columnas dobles, de series cronológicas, gráficos en espiral, estereogramas etc.

§  Tenciosidad y errores más comunes.

¨      Errores en la toma de datos: la muestra elegida no es representativa de la población, la técnica de obtención de los datos de un elemento de la muestra no es la adecuada. En el caso de valores agrupados de la variable, el motivo más común es la elección incorrecta de los intervalos de agrupación.

¨      Errores en la expresión de los datos: no poner las unidades de medida o no explicar el resultado de un gráfico.

¨      Tenciosidad de la expresión de los datos: el principal problema puede ser intencional o no y consiste en que la información se presenta de forma que puede inducir a error (recortar un gráfico, o tomar, a la hora de representar gráficamente…)

o   Medidas de los datos de la variable.

§  Introducción:

¨      El interés recae sobre un elemento típico de esta población que se caracteriza por una serie de números, que llamaremos medidas o parámetros, que se extraen de la masa de datos y permiten resumir un gran número de datos en unos pocos números que proporcionaban una idea aproximada de toda la población.

¨      Estos parámetros reciben el nombre de parámetros estadísticos y sirven para comparar dos distribuciones de frecuencias.

§  Medidas de centralización: valores que se expresan con las mismas unidades que las observaciones y determinan un valor central alrededor del que se encuentran repartidos los valores de la variable.

¨      Media aritmética: medida que representa a todos los valores de la distribución y es el resultado de dividir la suma de todos los datos por el número de estas y se representa por

Ø  Valores no agrupados de la variable:

Ø  Valores agrupados de la variable

Ø  Ventajas:

à es objetiva y sencilla de calcular

à Se utilizan todos los valores de la distribución para su calculo

à Tiene un significado interpretativo muy claro.

Ø  Desventajas: los valores extremos de la distribución muy dispares influyen de manera notable en su valor, lo cual puede hacer perder valore representativo.

¨      Moda: valor o valores de la variable con la mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo

Ø  Para valores no agrupados de la variable: solo hay que mirar la columna  y la  asociada al mayor de estos valores, será la moda.

Ø  Valores agrupados de la variable. Pasos:

à Encontrar el intervalo modal: será aquel con frecuencia absoluta )

à Hacer un cálculo para obtener una aproximación determinada por:

◊        Hay una moda en cada intervalo.

◊        En el interior del mencionado intervalo, la moda es el punto que equilibra las frecuencias absolutas de los intervalos adyacentes, si los intervalos tienen la misma amplitud, la moda se calcula como:

Ø  Si los intervalos tienen distinta amplitud deberemos encontrar la densidad de frecuencia absoluta y la ampliación del intervalo                                                

Ø  El intervalo modal  [ ,)

Ø  Ventajas: su uso es fácil de calcular y tiene una interpretación fácil.

Ø  Inconvenientes:

à Menos representativa que las otras medidas de centralización. Es útil, si se trata de distribuciones con datos, porque no se puede c perder representatividad.

à Se puede encontrar próxima a valores extremos.

à Podemos encontrar distribuciones bimodales, trimodales…, para que haya una valor o intervalo con el mayor número de frecuencia absoluta, pero repetida varias veces.

¨      Mediana: valor de la variable que se encuentra en la posición central de la distribución y podemos encontrarla en variables cualitativas y cuantitativas. Se representa por Me

Ø  El valor de la variable deja el mismo número de observaciones a su derecha que a su izquierda, si están ordenadas de menor a mayor. El procedimiento para obtener este valor es diferente si los valores de la variable se encuentran agrupados no:

Ø  Valores de la variable no agrupados:

à una variable cuantitativa y cualitativa impar, la mediana será el valor central:

à si el número de datos es par en cuantitativas la mediana es la media aritmética de los dos lugares centrales:

à si el número es par  y las dos modalidades que  ocupan lugares centrales son diferentes, no se podrá encontrar la mediana.

Ø  Valores agrupados de la variable. Pasos:

à Encontrar el intervalo mediano, para ello, se calculara n/2  y se comparara este valor con los de la columna  de la tabla de frecuencias, se elegirá el valor  igual o superior a n/2. El intervalo mediano [ ) será el asociado a esta frecuencia absoluta acumulada.

à Calcular la mediana: construimos el polígono de frecuencias relativas acumuladas y buscamos la intersección con la recta de educación Y= ½

La medida será la abscisa del punto de intersección del polígono con la recta y se puede calcular mediante la fórmula:

¨      Relación entre la media aritmética, la moda y la mediana se pueden observar:

Ø  Si la distribución es simétrica y unimodal, los tres parámetros coinciden

Ø  Si la  distribución es moderadamente asimétrica, se ha comprobado de forma empírica la desigualdad de Pearson.         

                                 

§  Medidas de posición: cuartiles.

¨      Parámetros no centrales que dividen los valores ordenados de la distribución en dos partes. Si estas partes son iguales, el parámetro que se obtiene es la medida.

¨      Cuartiles: dividen la distribución de datos en cuatro partes iguales,  cada una de ellas corresponde a un 25% de los datos ( se representan por Q Q Q y primero, segundo y tercer cuartil)

¨      Deciles: dividen la distribución de datos 10 partes iguales, cada una de ellas corresponde a un 10% ( se representan por D D D decil 1,2…)

¨      Percentiles: dividen la distribución de datos en 100 partes iguales, cada una de ellas corresponde a un 1% de los datos P  P   P  (percentil 1, 2…)

Q =

Q =

Q =

D =

§  Medidas de dispersión: intentan medir la mayor o menor concentración de los datos alrededor de los valores centrales de la distorsión.

¨      Recorrido o rango muestral: diferencia entre  el mayor y el menor valor de la variable. Cuanto menor sea el recorrido, mayor será la concentración de los valores de la variable.

¨      Varianza (media aritmética de los cuadrados de las desviaciones) y desviación típica.

Ø  Si los datos  no están agrupados:

Ø  Si los valores están agrupados:

¨      Coeficiente de variación de Pearson: entre la desviación típica y la media aritmética, siempre y cuando esta sea distinta a cero y no tiene unidades. Su valor es relativo y sirve para comparar la representatividad de    muestras diferentes entre dos valores de CV, la media aritmética representara mejor a su muestra si el correspondiente CV es menor.

§  Medida de simetría: para  estudiare la simetría de la distribución respecto a la media aritmética.

¨      Coeficiente de Fisher :

Mide la simetría y extrae conclusiones:

Ø  Si  =0 la distribución de frecuencias es simétrica.

Ø  Si >0  se presenta una simetría hacia la derecha.

Ø  Si < 0 se presenta una simetría hacia la izquierda.

·         Azar y probabilidad.

o   Espacios muéstrales. Sucesos.

§  Fenómenos deterministas: siempre que se repite un experimento en idénticas condiciones se obtienen los mismos resultados.

§  Probabilidad: ciencia encargada de estudiar los fenómenos no determinista

§  El espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Este conjunto se representa por --------

§  Cualquier subconjunto del espacio muestral se llama suceso.

§  Dado el espacio muestral de un experimento aleatorio, , entonces:

¨      Se nombra suceso seguro a---: aquel que se verifica siempre.

¨      Se nombra suceso imposible  : aquel que no se verifica nunca

¨      Se nombra suceso elemental a cualquier suceso constituido por un único elemento ( aquel que no se puede descomponer como unión de otros sucesos)

o   Definición de probabilidad y propiedades.

o   Espacios muéstrales finitos.

§  Tenemos experimentos para los que el espacio muestral     contiene solo un numero finito de resultados. Sean               todos los sucesos elementales de este espacio. A cada uno de estos sucesos  le asignamos una probabilidad

§  Equiprobables: la probabilidad de cada uno de ellos es la misma                y el espacio muestral es simple.

§  Regla de Laplace.

o   Leyes del azar.

§  Ley de grandes números o ley de azar:

¨      Si las pruebas para calcular la frecuencia relativa de un suceso se realizan en idénticas condiciones y el número de experimentos es suficientemente grande, la frecuencia relativa tiende a la estabilidad.

¨      Nos permite definir el concepto de probabilidad en función de la frecuencia relativa.

¨      Si el número de resultado posibles de un experimento no es finito y/o los sucesos son equiprobables = se usa la ley de los grandes números para calcular probabilidad.

§  Espacio probabilístico o espacio de probabilidad.

¨      Un espacio probabilístico: espacio muestral donde todos los sucesos tienen asignada una probabilidad de ocurrir

¨      Dos sucesos del espacio muestral      son Mutuamente Excluyentes si la aparición de uno de ellos excluye la aparición del otro en un mismo experimento.

¨      Dos sucesos cualesquiera del espacio    son Independientes cuando la probabilidad de que uno de ellos ocurra no está afectada por la aparición o no del otro suceso.

§  Probabilidad condicionada.

2.3.    Capacidades: El orden es secuencial, es decir, progresivo y de intensidad de dificultad creciente.

·         Descubrir la necesidad de recoger datos sobre un hecho objeto de interés, mediante experiencias sencillas. Elaborar cuestionarios para recoger estos datos. Reconocer diferentes tipos de variables.

o   A través de lo cotidiano: trabajaremos la necesidad de recoger datos alrededor de algunos hechos interesantes del entorno.

o   Educación infantil: inicia recuentos de los niños que asisten a clase y datos relativos al tiempo meteorológico, tipos de alimentos que llevan los niños para almorzar…

o   1º ciclo de primaria:

§  A través de contextos cercanos y números conocidos: recogida de datos diarios y puede hacer también otro cuyas preguntas se piensen en clase y sean decisión de la mayoría. Ej.: pueden recoger datos de la familia de cada niño para construir su propio árbol genealógico inmediato. Se pueden elaborar unas preguntas básicas de número de hermanos.

§  Cuando se avance en el ciclo se buscaran cuestionarios más elaborados o con más preguntas.

o   2º ciclo de primaria: distinción entre variable cuantitativa y cualitativa ( han podido aparecer con antelación pero no se ha insistido)

§  Con cualitativas se hará un cuestionario con posibles respuestas por pregunta para evitar la dispersión de estas.

§  Hacia final del ciclo: introducir los nombres de los dos tipos de variables sin pretender que los utilicen cotidianamente.

o   3º ciclo de primaria: introducir estudios sobre hechos con variables con gran cantidad de valores.

§  Objetivo: encontrar valores candidatos a ser agrupados para hacer la distinción con los no agrupados.

1)      Tratar los datos de manera semejante al trabajo

2)      Agrupar los valores en intervalos para poder trabajar con los datos más cómodamente.

3)      Explicar de acuerdo con su nivel evolutivo, la idea matemática de intervalo.

4)      Aclarar que un dato concreto solo puede estar en un único intervalo: se tendrá que pactar el extremo del intervalo.

5)      Diferencia de tratamiento entre los dos tipos de variables y se incorpora como variables de valores agrupados (números racionales y no agrupados (números naturales o enteros. Pueden haber excepciones en ambos casos.

·         Organizar datos en tablas de frecuencias absolutas y relativas. Interpretación de tablas.

o   Organización de datos (paso natural) una vez se ha hecho su recogida.

o   Educación primaria: se trabaja una organización de datos de manera intuitiva, poniéndolas en una tabla construida por alumnos, después su análisis, interpretación y extracción de información con el objetivo de extraer la mayor cantidad de conclusiones posibles.

o   1º y 2º ciclo: organización de datos únicamente mediante tablas de frecuencias absolutas. El número de valores hade impedir que se tengan que agrupar datos.

o   2º ciclo de primaria: tablas de sobre entrada. Con ejemplos fáciles se organizaran los datos a partir de la colocación fáciles se organización los datos a partir de la colocación en una fila y una columna para variables. EJ: lista de alumnos de la clase en la primera columna y los posibles lugares de una excursión en la primera fila.

o   3º ciclo de primaria: continuar trabajando e introducir la utilización de las frecuencias relativas.

§  Cuando conozcan el concepto de porcentaje se relaciona con las nuevas frecuencias y estudian los diferentes niveles de información.

§  Ej.: donde los valores de la variable cuantitativa se puedan agrupar.

§  Cálculos con este tipo de tabla (encontrar la media aritmética) la necesidad de elegir un valor que lo represente = se introduce la idea de marca de clase y la manera d calcularla. Se amplía la tabla con una columna a la derecha de la de los intervalos.

·         Representar datos con diagramas de barras, pictogramas, polígonos de frecuencias, historiogramas, diagramas de sectores y nubes de puntos. Interpretación de gráficos.

o   A lo largo de todas las etapas trabajaremos la obtención de información, el análisis y la interpretación de gráficos.

o   El objetivo: extraer de los gráficos la mayor cantidad de conclusiones posibles referentes al interés del estudio y a las razones por las que se ha realizado

o   Educación infantil: representación elemental de diagrama de barras a partir de la tabla de frecuencias absolutas ( se ponen en vertical y parecen un diagrama)

o   1º ciclo de primaria: trabajo parecido pero con re presentaciones en dos ( representando y pintando barras o con gomets en el eje horizontal) y tres (estas columnas se pueden formar con cajas iguales)

§  En cualesquiera de estas representaciones se puede añadir la numeración que corresponde al eje vertical (frecuencias absolutas) para ofrecer información que no proporcionan las barras y se parecerá más al diagrama de barras.

o   2º ciclo de primaria: introduciendo el vocabulario asociado para valores de la variable  no agrupada y barras separadas.

§  Se reflexionara sobre el hecho diferenciador de los diagramas de barras frente a las tablas de frecuencia.

§  Conclusión: con el diagrama se capta la información más rápidamente que con la tabla.

§  Pictogramas: complemento de los diagramas de barras

Ø  Su funcionamiento: semejante pero sustituyendo cada barra por un dibujo alusivo, la altura del cual será proporcional a la frecuencia.

o   3º ciclo: conocimiento de los tipos de representaciones graficas a partir de situaciones reales y diferentes fuentes de información.

§  Diagramas de barras: representan de manera adecuada incorporando la representación de las frecuencias al eje vertical

§  Reflexionaremos sobre la necesidad de establecer una escala de representación ajustada a las cantidades que aparecen en la columna de las frecuencias representadas y al espacio para construir el diagrama.

§   Cuando se trabaje con variables de datos agrupados, la representación semejante al diagrama de barras se le llama historiograma.

Ø  Procedimiento: análogo al realizado por los diagramas anteriores, teniendo en cuenta que al representar las barras no se tiene que dejar ninguna separación entre ellas.

Ø  Justificación: idea de continuidad que se deduce de la agrupación de estos valores.

Ø  Idea de continuidad: polígonos de frecuencias, constituidos por segmentos cuyos extremos son los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos de los historiogrmas, cuando las frecuencias no son acumuladas. En algunas ocasiones pueden no estar representados.

à Los polígonos de frecuencias explican intuitivamente la evolución temporal de los fenómenos: si son económicos o empresariales de usan con las frecuencias acumuladas y los segmentos indican el aumento de la frecuencia en cada intervalo

à Para variables de valores no agrupados, aunque se trasmite una idea de continuidad que no puede existir.

§  Diagramas de sectores: es necesario haber trabajado previamente la proporcionalidad, porcentaje, amplitud angular, sector circular y manejo del compás y del transportador de ángulos.

§  Nube de puntos: sencilla para variables bidimensionales. Es necesario haber trabajado previamente la localización de puntos en el plano mediante coordenadas cartesianas.

·         Necesidad de concentrar la información con medidas que la representen: media aritmética, mediana, moda y rango.

o   Análisis de las tablas y gráficos: hay informaciones que no se pueden extraer directamente (valores que concentran la información de toda la distribución) es necesario encontrar medidas estadísticas que nos dan respuesta a estas cuestiones.

o   1º y 2º ciclo de primaria: estudios sencillos a partir de las tablas y gráficos.

o   3º ciclo de primaria: introducción de las medidas media aritmética, mediana, moda y rango y los cálculos necesarios.

Valores sin agrupar.

§  Calcular la media aritmética:

¨      Habrá que tener en cuenta la variable sobre la que se calculan.

¨      Introducción: Situación problemática de una variable cuantitativa sin agrupar “ numero de hermanos de los compañeros de clase” 

1)      primero de una pregunta que encamine hacia la media aritmética “ante una acogida de niños saharauis, por algunas familias de niños del aula, queremos saber si, en general, tienen más hermanos ellos que nosotros” deberían pensar al contestarla de manera autónoma y percatarse que no se puede comprar de manera individual. Habrá que llegar a que necesitamos encontrar un valor que represente a los de un colectivo ( media aritmética)

2)      para encontrar este valor, particularizaremos y aprovecharemos esta situación para reflexionar las operaciones que hay que hacer. Si no se llega directamente habrá que tomar un caso donde intervengan más valores. Hay que continuar pensando hasta llegar a la conclusión definitiva.

3)      Habrá que sumar todos los números de hermanos de niños de la clase y dividir por el número de la medida calculada, la media aritmética y su símbolo ----

§  Para introducir la moda: formular la siguiente pregunta “¿el número habitual de hermanos de los niños saharauis coincide con el que tenemos aquí?” pregunta que se contestara rápidamente si tienen la tabla de frecuencias de la variable.

¨      Mirar la columna de frecuencias absolutas y encontrar la mayor.

¨      Se introducirá el nombre de la medida obtenida, moda y su símbolo M

§  Para introducir el recorrido o rango: en un grupo los números van de 4 a 8 y en el otro van de 0 a 4 “¿cómo es posible llegando a 8 solo tenga 4 filas igual que si llegamos a 4?

¨      Diferencias entre el valor mayor y menor  nos permite dar la respuesta a la pregunta. Como el valor que resulta es el mismo se justifica que las tablas tengan el mismo número de filas. A este valor le llamamos recorrido o rango de los valores de la variable Re. Esta medida cuantifica la variabilidad de los valores de la variable (información sobre la dispersión de la variable).

Valores agrupados.

§  Situación problemática de una variable cuantitativa con valores agrupados: se procede de manera análoga al caso anterior para la media aritmética y la moda, teniendo en cuenta que usaremos las marcas de clase como valores de la variable sin agrupar.

§  El rango se calculara la diferencia entre extremo superior del ultimo intervalo y el extremo inferior del primero.

Variable cualitativa.

§  Situación problemática “colores preferidos por los niños” y a partir de su tabla de frecuencias nos planteamos un estilo de pregunta semejante a la de la moda. Para encontrarla debemos seguir el mismo procedimiento que se ha descrito para las variables cuantitativas

§  Media aritmética: se plantea una pregunta llegando a la conclusión de que el cálculo de esta es imposible.

¨      Se reflexiona sobre el significado de la media aritmética y su posición en una línea imaginaria donde el primer valore de la variable se situaría a la izquierda y el último a la derecha. Ocuparía una posición hacia el centro de esa línea, por ello se llama medida de centralización.

¨      Encontrar una medida que pueda sustituir la anterior, para ello se debe recurrir al orden de posición establecido para las modalidades (criterio que las diferencia) para encontrar la medida de la posición central buscada, se tendrá que elegir aquella que deje la misma cantidad de modalidades a su izquierda que a su derecha. Se introducirá la medida obtenida, mediana y su símbolo Me

¨      Advertir que en el caso de tener una cantidad par de datos no hay posición central (dos modalidades susceptibles de ocupar esta posición) si las sus coinciden, esta modalidad es la mediana, si no, no existe.

¨      Extensivo este concepto de mediana para variables cuantitativas con valores agrupados como no agrupados. El procedimiento para obtenerla es semejante. Solo cambia en el caso de que el número total de datos sea pares y que en la posición central haya dos valores diferentes de la variable. En este caso hay que hacer la semisuma de ellos y el número que se obtenga como resultado será la mediana.

·         Reconocer el azar en la vida diaria. Diferencia sucesos posibles, imposibles, seguros y elementales. Elaborar arboles de posibilidades.

o   1º ciclo de primaria: trabajar con el descubrimiento  de situaciones sencillas de azar a su alrededor son al tiempo atmosférico.

§  Objetivo: crear el concepto de Fenómeno Aleatorio: encaminarlos a que hagan el descubrimiento de que las mencionadas situaciones no se pueden predecir con seguridad

1)      Provocar situación de azar recreadas ( los juegos de azar)

2)      Trabajar solo con sucesos elementales e ir introduciendo vocabulario adecuado, como suceso posible, imposible y seguro

o   2º ciclo de primar: continuar con el trabajo los contenidos relacionados con el azar, introduciendo las ideas de sucesos elementales y compuestos.

§  Realizaremos experimentos aleatorios, cuyos resultados serán recogidos en tablas.

§  El maestro analizara la corrección de las tablas teniendo en cuenta: la presencia de todos los resultados posibles, una disposición ordenada de los mismos, la frecuencia de cada uno de ellos y el número total de repeticiones del experimento.

o   3º ciclo de primaria: usando juegos de azar con más dificultad “ lazar dado y sumar los resultados”

§  Introducimos la idea de espacio muestral deberán pensar en todos los resultados que se pueden obtener en este caso y reflexionar sobre la diferencia con los obtenidos cuando se lanza solo un dado.

§  Una vez determinados todos los valores del espacio muestral, es necesario que empiecen a lanzar los dados y a anotar los resultados. Deberían repetir el experimento 100 veces por lo menos y se percataran de que hay sucesos del espacio muestral que en los 100 lanzamientos se producen más veces ¿Por qué? Les parece que todos los resultados deberían aparecer un número parecido de veces, pero no es así. Será necesario que observen los sumandos que determinan cada suceso elemental. Así encontraran que hay varias combinaciones que provocan sumas iguales.

§  Para pensar de manera exhaustiva y ordenadas en todas las posibles combinaciones de sumandos nos ayudaremos de los diagramas de árbol para representar el recuento y visualizarlo.

§  Podemos reforzar este trabajo con situaciones reales de recuento

§  Habrá que preguntarse si todas las ramas de cada árbol son igual de posibles o no.

§  A partir de este punto se ha creado al interrogante para introducir el concepto de probabilidad de un suceso.

·         Construir el concepto de probabilidad a partir de la frecuencia relativa y del árbol de posibilidades.

o   1º y 2º ciclo de primaria: para aproximarnos al concepto de probabilidad habrá que acompañar algunas actividades cotidianas en la que intervienen el azar con las expresiones “ más probable”, “ menos probable”, “ igual de probable” ( equiprobable), para verbalizar los resultados de las comparaciones entre sucesos son más, menos o iguales posibilidades de ocurrir, respectivamente.

o   3º ciclo de primaria: acabar de construir el concepto de probabilidad ( llegar a la cuantificación numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso aleatorio)

1)      Conectaremos el concepto de frecuencia relativa con el de probabilidad, introducido por la regla de Laplace.

2)      Mismo ejemplo (lanzar dos dados y sumar los resultados) si se elige otro ejemplo tendremos que comprobar que los sucesos simples sean equiprobables en el espacio muestral simple, condición necesaria para poder aplicar esta regla.

3)      Calcularemos las frecuencias relativas de los diferentes valores de la variable en las 100 repeticiones y las anotaremos en la correspondiente tabla de frecuencias

4)      Analizando el árbol de posibilidades los niños observaran que la relación entre los caminos que nos llevan al resultado.

5)      Se comparan estas dos fracciones (de la tabla de frecuencias y la del árbol). Seria conveniente que los cocientes que representen fueran muy aproximados.

6)      En este caso y en el resto de casos del espacio muestral dele experimento hay que percatarse que la primera fracción puede variar y que, en función del aumento del número  total de lanzamientos que realizamos, se aproximara mas a la segunda fracción, que es constante e independiente del número de lanzamientos ( Ley de los grandes números). La invariabilidad de la segunda fracción nos permite utilizarla para expresar la cuantificación numérica de la posibilidad de ocurrir de un suceso aleatorio. (probabilidad de un suceso según la regla de Laplace) y se obtiene dividiendo el número de casos favorables a que se produzca este suceso por el número total de casos posibles del experimento.

§  Se trabajan más ejemplos similares para afirmar el concepto de probabilidad y de comprobar que todos los valores que obtenemos por las diferentes probabilidades se encuentran siempre entre 0 y 1.

·         Relacionar los conceptos de probabilidad y porcentaje,

o   3º ciclo de primaria: una vez están trabajados los porcentajes podemos relacionar el nuevo concepto e probabilidad y el ya conocido porcentaje que permite una aproximación más intuitiva a la probabilidad (porcentaje en lugar de un numero entre 0 y 1)

§  No deben identificarse ambas expresiones numéricas igualando la probabilidad de un suceso con su porcentaje.

§  La probabilidad siempre será un valor que pertenece al intervalo (0,1) y el porcentaje será un valor del intervalo (0,100)

§  A partir de ejemplos y de manera similar al trabajo realizado para calcular un porcentaje desde una frecuencia relativa, llegamos a calcular un porcentaje a partir de una probabilidad multiplicada por 100.