1. Geometría.
1.1.
Introducción
·
Histórica:
o
Origen:
el proceso de abstracción que la humanidad hace de las formas de la naturaleza,
idealizándolas por la necesidad de controlarla y servirse de ella.
o
Los
matemáticos griegos: recogen el legado de los egipcios y de
los mesopotámicos, siendo sus máximos exponentes Thales de Mileto y Pitágoras.
§ Platón
opta
por la utilización de la matemática pura en la geometría y fue el fundador de
la Escuela Platónica a la cual debemos:
1) La clasificación de los poliedros
regulares (tetraedro, cubo/ hexaedro, octaedro, dodecaedro y el icosaedro: platón
asocia a estos solidos los elementos
fuego, tierra, aire, material de las constelaciones/ cielo (universo), y el
agua, respectivamente.
2)
La
determinación de sucesivas
aproximaciones al área del circulo mediante el método de exacción ( Arquímedes)
§ Euclides
describe
como construir figuras con regla y compas y enuncia que solo hay 5 poliedros
regulares, y articula la geometría a partir de 5 axiomas.
o
Kepler
(XVI): imagino una relación entre los 5 poliedros
regulares y las orbitas de los planetas del sistema solar entonces conocido,
cada planeta se movía en una esfera, separada de la contigua por un sólido
platónico.
o
Arquímedes
descubre y estudio los sólidos arquimedianos/ semirregulares:
poliedros convexos formados por polígonos regulares de dos o más tipos con
vértices uniformes.
o
Siglo
XVI:
se introduce la situación de las figuras en el plano y el espacio mediante
coordenadas, lo cual origina una geometría más analítica y empieza a
abandonarse la representación gráfica como único apoyo de los cálculos.
o
XIX
se cuestiona el 5º axioma de Euclides: se trata del axioma
del paralelismo “ por un punto exterior a una recta, se puede trazar solo una
paralela a esta”
o
Reimman
(geometría esférica) y Einstein (teoría de la relatividad):
incluyen el tiempo en la concepción geométrica del Universo, se produce la
explosión de las geometrías no euclidianas = dudas sobre lo que es la geometría.
o
Félix
Klein: clasifica diferentes geometrías a partir de grupos
de transformaciones geométricas.
o
Actualmente:
se investigan nuevos conocimientos en los campos de Topología y geometría
algebraica.
·
Objetivo:
dar a conocer todos los conceptos, elementos notables, propiedades y
características de las figuras geométricas en educación primaria y la
transposición didáctica de esta parte de la geometría.
1.2.
Los primeros pasos por la geometría.
·
Preliminares.
o
Del
griego (gea= tierra y metron= medida), la geometría se encargó de resolver
problemas de la realidad: medir el tiempo, intentar hacer construcciones
arquitectónicamente estables y calcular superficies.
o
Los
griegos combinaron la geometría de forma práctica y artística.
o
Esencia
más primitiva, intuitiva o descriptiva de la primera geometría:
es la del aula de primaria y se encarga del conocimiento del espacio y de las
figuras geométricas. La razón es dotar al alumnado de herramientas para que se
sepa orientar a su alrededor y que para sea capaz de describir y clasificar lo
que le rodea.
o
Figura
geométrica: cualquier
conjunto de puntos en el espacio
o
Atendiendo
a cuestiones de psicomotricidad, de desarrollo cognitivo y de conocimiento
general del medio donde viven, la aproximación didáctica debería dirigirse (en
la construcción matemática formal hay que hacer el recorrido al revés):
1º)
cuerpos geométricos.
2º)
figuras geométricas.
3º)
intersección de estas líneas a los puntos.
o
En
infantil y primaria: se harán aproximaciones a diferentes
tipos de conceptos geométricos en cualquier momento evolutivo del alumno y con
diferentes intensidades de dificultad, teniendo en cuenta la imposibilidad de
materializar las figuras geométricas de menos de 3 dimensiones.
·
Geometrías
o
Transformaciones
geométricas (transformaciones biyectiva del espacio):
hacen que unas figuras geométricas se transformen en otras.
o
El
programa Erlangen ( Klein): estudia las propiedades
invariables, descubriendo diferentes tipos de transformaciones que forman las
diferentes geometrías.
Transformaciones.
|
Geometrías.
|
|||||||||
topológicas: en la escala
de intensidad en las transformaciones de las figuras geométricas, estas son
las más altas, deforman, estiran o contraen, provocando grandes cambios en la
figura original, pero sin producir rupturas, por lo que se denominan
bicontinuas
|
Topológica o topología: estudia las
propiedades de las figuras que se conservan cuando se les aplica una trasformación
topológica ( orden de los puntos, el interior y el exterior de la figura, si
son cerradas o abiertas, la frontera y la intersección)
|
|||||||||
Proyecciones: comparación
de una figura con la sobra que produce, observando así que según donde este
el foco de luz y como este el plano donde se proyecta la sombra,
encontraremos diferentes tipos de trasformaciones.
|
Proyecciones:
estudia las propiedades de las figuras
geométricas que varían cuando se les aplica una transformación topológica,
pero que se mantienen invariables cuando se les aplica una proyección.
|
|||||||||
Se aplica una transformación
proyectiva:
las propiedades específicas que se mantienen invariables son: el carácter de
la línea recta o curva y la convexidad de las figuras
|
||||||||||
Se
aplica una trasformación afín, las propiedades específicas que se
mantienen invariables son: el paralelismo, el punto medio y la
proporcionalidad entre los segmentos de una misma recta.
|
||||||||||
Se
aplica una semejanza: las propiedades específicas que se conservan
son: los ángulos y la proporcionalidad, y, por tanto, su forma.
|
||||||||||
Movimientos
rígidos o isometrías: comparación de dos figuras
geométricas iguales, una al lado de la otra donde se ha producido un
desplazamiento pero no un cambio de forma (todas las dimensiones de la figura
y su transformada son iguales).
|
Geometría euclidea o métrica: se encarga
de estudiar las propiedades delas figuras geométricas que varían con las trasformaciones
pero que se mantienen invariables cuando se les aplica un movimiento rígido.
Las figuras homologas mantienen invariables
a las longitudes, superficies y volúmenes.
|
|||||||||
1.3.
Introducción teórica.
·
Líneas
en el plano
o
Líneas.
§ cualquier
línea que pueda trazarse con un lápiz y en un papel
es la representación transformada de una recta o de alguno de sus subconjuntos.
§ Cualquier
línea cerrada será una representación de una transformada de
una circunferencia.
§ La
expresión analítica de una recta o circunferencia
surge de la necesidad de controlar aquellas manifestaciones de la realidad
donde de manera natural aparecen.
o
Antecedentes:
plano puntos y vectores
§ Plano:
la porción del espacio determinada por dos rectas diferentes, paralelas o
secantes, donde situaremos dos ejes de coordenadas perpendiculares (eje X y eje
Y, o de abscisas y de ordenadas, respectivamente), donde podemos representar
todas las figuras geométricas planas: punto, vector, recta, circunferencia… de dimensión
dos porque necesitamos 2n ejes para representarlo.
§ Origen
de coordenadas: donde se cortan ambos ejes con la
posición 0 en ellos.
o
Cualquier
punto que se quiera situar en el plano, debe contener
información ordenada respecto de estos dos ejes, primero del eje X y después del eje Y.
§ El
punto: mínima figura geométrica: la representación gráfica
de un par de números es una marca pequeña, redonda y mínima que se situara en
la intersección de las rectas imaginarias perpendiculares entre si y paralelas
a los ejes.
¨ El punto no tiene
tamaño, ni forma y, por lo tanto, no se puede deformar por ninguna
transformación geométrica, sí que se puede trasladar.
¨ Se le denomina con una letra
mayúscula (A, B, C…)
o
Vector
fijo en el plano 
es un segmento orientado que tiene el origen
en el punto A y el extremo en el punto B.
A= (a,a’) y B=(b,b’), las del vector serán 
= (b-a, b’-a’)
es un segmento orientado que tiene el origen
en el punto A y el extremo en el punto B.
A= (a,a’) y B=(b,b’), las del vector serán = (b-a, b’-a’)
§ Elementos
del vector:
¨ Dirección:
la recta sobre la que se encuentra el vector. Todas las rectas paralelas a ella
tienen la misma dirección.
¨ Sentido:
recorrido de la recta cuando nos trasladamos de A a B.
Ø De
A a B: = ( b-a, b’-a’)
= ( b-a, b’-a’)
Ø De
B a A : 
= (a-b, a’-b’)
= (a-b, a’-b’)
¨ Recorrido
de la recta cuando nos trasladamos de A a B y el de B a A, la manera de
calcularlo será diferente, así AB = (b-a, b’-a’), pero de BA = (a-b, a’-b’).
¨ Modulo:
distancia entre A y B (longitud del segmento). Se representa por / / y se calcula a partir
del teorema de Pitágoras según: //= 
). Se representa por / / y se calcula a partir
del teorema de Pitágoras según: //=
Ø Vector unitario:
su módulo es 1.
§ Equipolencia
de vectores (vectores equipolentes): dos vectores no
nulos que tienen los mismos módulos, dirección y sentido.
¨ Gráficamente:
son equipolentes si cunado unimos sus orígenes y extremos se obtiene una
paralelogramo ( relación binaria de
equivalencia)
¨ Vector libre:
cada una de las clases de equivalencia determinada por la equipolencia de
vectores.
Ø Idea intuitiva del concepto libre:
cuando queremos usar un vector podemos usar cualquiera de los equipolentes a
él.
o
La
recta.
§ Una
recta en el plano queda determinada vectorialmente por un punto (a,b) y el
vector director (v,w) ( marca la
dirección de la recta)
§ Cualquier
punto de la recta (x,y)se obtendrá trasladando el punto fijo (a,b) según un
vector múltiple de (v,w)
¨
Ecuación
vectorial de la recta (x,y)
= (a,b) + Kž
(v,w), K € R
¨ Ecuaciones paramétricas de la Recta
( se separan las coordenadas de la ecuación vectorial de la recta, dando lugar
a dos ecuaciones):
¨ Ecuación continua de la Recta
( se despejara de las dos expresiones y se igualaran los resultados):
¨ Ecuación del punto pendiente de la
Recta: y - b =
ž (x-a)
ž (x-a)
¨ Ecuación explicita de la recta: tiene un uso extendido y se obtiene
de la ecuación continua o bien de la ecuación punto pendiente. ( ya no es
intuitiva) Y= mx + n (m es la pendiente
de la recta/ n es la ordenada en el origen)
¨ Ecuación General o Implícita de la
Recta: nos da un valor x
más otro valor, tenemos que saber cuánto vale y.
Ažx + Bž y + C= 0
|
La
expresión real es: 
žx – y -
ža + b= 0
žx – y - ža + b= 0
§ Líneas
opuestas: punto de una recta que la divida en 2 semirrectas
con origen en ese punto, entonces, si a partir de una semirrecta recorremos el
haz siguiendo el sentido de las agujas del reloj, se abra orientado en el plano
en un sentido negativo. En caso contrario el sentido será positivo.
§ Cualquier par de puntos de una recta A y B,
determina un segmento 
formado por todos los puntos de la recta
situados entre A y B:
formado por todos los puntos de la recta
situados entre A y B:
¨ Cerrado:
Todos los puntos de la recta situados entre A y B y por estos dos puntos.
¨ Abierto:
todos los puntos situados entre A y B, menos A y B.
¨ Semiabrierto:
todos los puntos situados entre A y B, y uno de ellos.
§ La
longitud de un segmento AB se calcula midiendo la distancia
entre sus extremos y se representa por /AB/ = d ( A,B)
§ Mediatriz:
recta perpendicular a un segmento por su punto medio.
§ Segmentos
concatenados: tienen un extremo común
§ Segmentos
consecutivos: tienen un extremo común y están
alineados.
§ Considerando
dos líneas rectas en el plano, las posiciones que podemos tener son:
¨ Rectas secantes:
tienen solo un punto en común: analíticamente:
¨ Rectas paralelas no coincidentes:
no tienen ningún punto en común. Analíticamente:
¨ Rectas paralelas coincidentes:
tienen todos los puntos comunes. Analíticamente: 
¨ Dos líneas rectas en el ESPACIO:
rectas que se cruzan en el espacio ( no tienen puntos en común y no pertenecen
al mismo plano) analíticamente:
o
La
circunferencia: lugar geométrico de todos los puntos
del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
§ Radio:
distancia fija entre un punto de la circunferencia y su centro, y también, cada
uno de los segmentos que unen el centro con un punto cualquiera de la
circunferencia.
Ø Para
calcular una circunferencia de radio r, utilizaremos la formula L=2ž
§ Circunferencia
más sencilla posible es aquella centrada en el (0,0).
¨ Llamamos
(x,y) a cualquier punto de la circunferencia y r al radio
d((x,y), (0,0)) = r
|
¨ como
la distancia entre dos puntos es el modulo del vector que los une, calculamos
el vector entre los puntos (x,y) y (0,0) = vector (x,y).
¨ calculamos
el modulo del vector (x,y) :
¨ formula
final es la sustitución de por d((x,y),
(0,0)) = r ; se quedaría:
por d((x,y),
(0,0)) = r ; se quedaría:
§ si
el centro de la circunferencia es cualquier punto, C (
) y su radio es r, la
formula será:
) y su radio es r, la
formula será: |
§ si
consideramos una recta y una circunferencia, las posiciones relativas que
pueden tener en el plano son:
¨ recta tangente:
la recta y la circunferencia solo tienen un punto en común.
¨ Recta secante:
la recta y la circunferencia tienen dos puntos en común.
¨ Recta exterior:
la recta y la circunferencia no tienen puntos en común.
§ Elementos
básicos de la circunferencia:
¨ Cuerda: segmento que une dos
puntos cualesquiera de la circunferencia (también se define a partir de la
recta secante).
¨ Diámetro:
cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
¨ Arco: tramo o porción de la
circunferencia comprendido entre dos puntos de esta. Cuando los puntos son los
extremos de un diámetro, el arco se llama semicircunferencia.
§ Líneas
que podemos encontrar en el plano nos interesan solo las abiertas y cerradas
simples (aquellas que no tienen ningún punto por donde la línea pasa dos
veces):
¨ Las abiertas:
sus principio y final son dos puntos diferenciados.
Ø Las obtenemos al aplicar una transformación
topológica a una recta, una semirrecta o un segmento.
¨ Las cerradas:
son el mismo punto el principio y el final
Ø Las obtenemos al aplicarla a una
circunferencia.
·
Superficies
en el plano.
o
Introducción:
§ Superficie
plana: una figura geométrica que resulta de considerar
una parte del plano determinada por líneas de este plano.
§ Cualquier
recta de un plano lo divide en dos regiones (semiplanos), que incluyen la recta.
§ Superficie
plana convexa: contiene todos los segmentos que unen
cualquier par de puntos de ella.
§ Superficie
plana cóncava: contienen segmentos que unen cualquier par de puntos de ella y alguno que
no está contenido en la superficie. 
o
Ángulos:
las primeras superficies planas que se estudiaran.
§ Angulo:
cada una de las 4 regiones definidas por 2 rectas secantes ( incluidas las semirrectas
de origen común que las definen)
§ Vértice
del ángulo: origen común de las semirrectas.
§ Lados
del ángulo: las semirrectas.
§ Simbolización
del ángulo mediante el vértice ô : AôB
( A=punto de un lado del ángulo y B el otro punto de al lado)
§ Bisectriz
de un ángulo: semirrecta contenida en el ángulo que tiene su origen en el vértice del ángulo
y lo divide en dos partes iguales.
§ Tipos
de ángulos
¨ convexos:
Ø Completo = 360º
Ø Recto=90º
Ø Llano=180º
Ø Agudos=menos de 90º
Ø Obtusos=entre 90º y 180º
¨ Cóncavos:
los que mide más de 180º y menos de 360º
§ Tipos
de ángulos cuando se suman:
¨ Complementarios:
2 ángulos que la suma de sus amplitudes es igual a 90º.
¨ Suplementarios:
dos ángulos cuya suma sea 180º.
¨ Conjugados:
dos ángulos cuya suma sea 360º
o
Polígonos
(los trabajados aquí se trabajan en infantil y
primaria por su facilidad para ser imaginados)
§ Elementos:
¨ Línea poligonal:
colección de segmentos concatenados.
Ø Línea poligonal simple:
si no hay ningún punto diferente de los extremos de los segmentos por donde la
línea pase dos o más veces.
à cerrada:
el primer y último segmento de la línea poligonal de más de dos segmentos tiene
un extremo común.
à abierta:
el primer y último segmento de la línea poligonal de más de dos segmentos no
tiene un extremo común.
Ø Línea poligonal no simple:
hay algún unto diferente de los segmentos por donde la línea para 2 o más
veces.
¨ Lado del polígono:
cada segmento de la línea poligonal ( se les llama con letras minúsculas)
¨ Perímetro:
suma de todos los lados del polígono
¨ Centro de un polígono:
punto equidistante a todos los vértices.
¨ Vértices del polígono:
extremos de los lados ( se les llama con letras mayúsculas)
Ø Angulo interior del polígono (“ángulo
del polígono”): es el ángulo que contiene al polígono.
à La suma de todos los ángulos
de un triángulo es 180º y para cualquier
otro polígono de n lados, será 
Ø Angulo exterior de un polígono:
los lados de un polígono se pueden extender y dan lugar a los ángulos
exteriores.
à La suma de todos los ángulos exteriores
de un polígono convexo es 360º
Ø Cada alguno exterior es adyacente de uno
del polígono (suma con él un ángulo llano) = la suma
de los ángulos exteriores e interiores vale tantos ángulos llanos como lados.
¨ Diagonal del polígono:
el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
¨ Polígono regular es equilátero y
equiángulo:
Ø Polígono es equilátero:
todos los lados tienen la misma longitud.
Ø Polígono equiángulo:
sus ángulos interiores tienen la misma amplitud.
¨ Polígonos según el número de
ángulos y lados.
Numero de ángulos
y lados
|
Nombre del polígono
|
Numero de ángulos
y lados
|
Nombre del polígono.
|
|||
5 ángulo y 5 lados
|
Pentágono.
|
15 ángulos y 15 lados
|
Pentadecágonos
|
|||
6 ángulos y 6 lados
|
Hexágono
|
16 ángulos y 16 lados
|
Hexadecagonos.
|
|||
7 ángulos y 7 lados
|
Heptágono.
|
17 ángulos y 17 lados
|
Heptadecagonos.
|
|||
8 ángulos y 8 lados
|
Octógono.
|
18 ángulos y 18 lados
|
Octodecagonos.
|
|||
9 ángulos y 9 lados
|
Eneágonos o nonágonos.
|
19 ángulos y 19 lados
|
Eneadecaganos
|
|||
10 ángulos y 10 lados
|
Decágonos.
|
20angulos y 20 lados
|
Isógonos.
|
|||
11 ángulos y 11 lados
|
Endecágonos.
|
30 ángulos y 30 lados
|
Triacontagonos.
|
|||
12 ángulos y 12 lados
|
Dodecágonos.
|
100 ángulos y 100 lados
|
Heptágonos
|
|||
13 ángulos y 13 lados
|
Tridecagonos.
|
1.000angulos y 1.000 lados.
|
Kiliagonos.
|
|||
14 ángulos y 14 lados.
|
Tetradecagonos.
|
10.000angulos y 10.000 lados.
|
Miriagonos.
|
|||
Para polígonos
de más de 20 lados y menos de 100
|
||||||
DECENAS
|
Y
|
UNIDADES
|
SUFIJO FINAL
|
|||
-kai-
|
1
|
-hena-
|
-gono
|
|||
20
|
Icosi-
|
2
|
-di-
|
|||
30
|
Triaconta-
|
3
|
-tri-
|
|||
40
|
Tetraconta-
|
4
|
-tetra-
|
|||
50
|
Pentaconta-
|
5
|
-penta-
|
|||
60
|
Hexaconta-
|
6
|
-hexa-
|
|||
70
|
Heptaconta-
|
7
|
-hepta-
|
|||
80
|
Octaconta-
|
8
|
-octa-
|
|||
90
|
Eneaconta-
|
9
|
-enea-
|
|||
¨ René Descartes ( 1596-1650):
avanzo en la ciencia del siglo XVII en su obra “ el conocimiento de las cosas
externas”
§ Triángulos.
¨ Triangulo:
polígono determinado por una línea poligonal cerrada de tres segmentos, tiene
tres lados, tres angulos y tres vértices.
¨ Según sus ángulo:
Ø Triángulos acutángulos:
tienen los 3 ángulos agudos.
Ø Triángulos rectángulos:
tienen un ángulo recto. Los lados son catetas e hipotenusa.
Ø Triángulos obtusángulos,
uno de los tres angulosas obtuso.
¨ Según los lados:
Ø Diferentes tipos de triángulos:
à Triángulos equiláteros:
tienen los tres lados de igual longitud.
à Triángulos isósceles:
tienen dos lados de igual longitud.
à Triángulos escalenos:
3 lados tienen diferente longitud.
Ø Dos clasificaciones diferentes:
à Clasificación excluyente:
presenta tantas clases de equivalencia como denominaciones diferentes hay. (ej.: los isósceles tienen dos lados
iguales solo, por tanto un equilátero no es isósceles)
à Clasificación inclusiva:
permite que en una misma clase pueda haber elementos correspondientes a más de
una denominación. ( ej.: los triángulos isósceles son aquellos que tienen al
menos dos lados iguales, entonces los equiláteros son isósceles también)
¨ Área del triángulo:
Ø Base =longitud del
lado del triángulo sobre el que se apoya la figura.
Ø Altura =
longitud del segmento de la base por el vértice opuesto.
¨ Resolver un triángulo significa
conocer la medida de sus lados y ángulos.
¨ Teorema de pitagonas para los
triángulos rectángulos: el área que se forma con el
cuadrado de lado de la hipotenusa, coincide con la suma de las áreas de los cuadrados,
cuyos lados son los catetos.
§ Cuadriláteros.
¨ Cuadrilátero:
polígono determinado por una línea poligonal simple cerrada de 4 segmentos.
Tiene cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos.
¨ Tipos según el paralelismo de los
lados:
Ø Paralelogramos:
tienen los dos pares de lados opuestos paralelos. Atendiendo a la igualdad de
los lados y/o ángulos hay distintas
subclases:
à Cuadrados: es
equilátero y equiángulo, además sus ángulos son de 90º
à Rectándolos: es
equiángulo y además sus ángulos son de 90º. Los lados opuestos son de igual
longitud pero los consecutivos no. 
à Rombos: es
equilátero. Los ángulos opuestos son de la misma amplitud pero los no opuestos
no. 
à Romboides:
los ángulos opuestos son de la misma amplitud y los no opuestos no. Los lados
opuestos son de igual longitud y los consecutivos no. 
Ø Trapecios:
tienen solo un par de lados opuestos paralelos (bases). Atendiendo a la
igualdad de los lados y/o ángulos hay
distintas subclases:
à Trapecio isósceles:
las longitudes de los lados no paralelos son iguales. Los ángulos básicos son
iguales dos a dos. 
à Trapecio escaleno:
las longitudes de los lados no paralelos son diferentes y todos sus ángulos
también son diferentes
à Trapecio rectángulo:
es un trapecio escaleno con uno de los lados, no paralelos, perpendicular a la
base, formando así un ángulo de 90º
Ø Trapezoides:
no tienen ningún lado paralelo a otro. Todos sus lados y ángulos son
desiguales. 
¨ Tipos de clasificación.
Ø Exclusiva.
Paralelogramos.
|
Trapecios.
|
Trapezoides.
|
Cuadrado.
|
Isósceles.
|
|
Rectángulo.
|
||
Rombos.
|
Escalenos.
|
|
Romboides.
|
Ø Inclusiva.
§ Pentágonos:
polígono
determinado por una línea poligonal simple cerrada de 5 segmentos, que tiene 5
lados, 5 ángulos y 5 vértices.
¨ Tipos de pentágonos:
Ø Pentágono regular.
à Rectas del pentágono regular:
se cortan en puntos exteriores a este creando un Pentáculo (tipo de polígono
conocido como estrellados) uniendo los nuevos puntos de corte encontramos un
nuevo pentágono.
Ø Pentágono irregular
à convexo.
à cóncavo.
§ Hexágonos:
polígono
determinado por una línea poligonal simple cerrada de 6 segmentos, que tiene 6
lados, 6 ángulos y 6 vértices.
¨ Tipos de hexágonos:
Ø Hexágonos regulares.
à Característica común de los polígonos
regulares: se pueden dividir en triángulos isósceles uniendo
el centro con todos los vértices del polígono. 
à El hexágono:
polígono con mucha presencia en la naturaleza.
Ø Hexágonos irregulares
à Cóncavos
à Convexos.
¨ Se utiliza también para la química.
o
Consideraciones
sobre los polígonos.
§ Mosaicos
ó teselaciones: imágenes compuestas por piezas que tradicionalmente
han sido utilizadas en el arte y sobre todo por los romanos.
¨ Objetivo:
formar una figura plana sin dejar ninguna superficie por cubrir. Cada una de
estas piezas se llama tesela
¨ Matemáticamente se han estudiado
los recubrimientos cuando las teselas son polígonos regulares. Las conclusiones
de este estudio son:
1) Si utilizamos solo polígonos regulares
de un solo tipo, las redes que se pueden obtener son: 
2) Para recubrir el plano es necesario que
en un punto dado los ángulos de los polígonos que concurren sumen 360º
3) Si se utiliza más de un tipo de polígono
regular ( hay mas):
§ Circunferencia
circunscrita e inscrita en un polígono.
¨ Circunscrita:
la circunferencia es exterior al polígono y los puntos de contacto con el son
sus vértices. 
¨ Inscrita:
la circunferencia está dentro del polígono y los puntos de contacto entre ambas
son los puntos medios de los lados. 
¨ En los dos casos el centro de la circunferencia
y del polígono es el mismo.
§ Polígonos
regulares: simetrías.
¨ Figura simétrica: a
partir de un eje de simetría se desarrolla de igual manera a cada lado de este
eje.
Ø Eje de simetría: una recta, que
no existe en la realidad, pero que podemos suponerla.
Ø Polígonos regulares:
equiláteros
y equiángulos, tienen igual número de ejes de simetría que de lados.
¨ Ejemplos:
Ø Número de lados impar:
eje de simetría es la bisectriz de un ángulo interno y pasa por el punto medio
del lado opuesto al vértice del ángulo (hay tantos ángulo como lados, el número
de ejes de simetría coincide con el de lados
Ø Número de lados par:
dos tipos de ejes de simetría.
à Las bisectrices de ángulos interno.
à Los que pasan por los puntos medios de
lados opuestos.
Ø El número de ejes de simetría (
bisectrices): mitad del número
de ángulos del polígono y el número de ejes de simetría del polígono y el
número de ejes de simetría que pasan por el centro de los lados opuestos será
la mitad del número de lados
Ø El número total de ejes que coincidirá
con el número de lados.
Ø Polígono no es regular:
no
se puede garantizar el número de ejes de simetría, pero eso no niega que tenga.
Ø Polígono irregular:
no se puede garantizar el número de ejes de simetría, por eso no niega que
tenga. 
§ Perímetro
y área de un polígono regular.
¨ Perímetro de un polígono regular:
multiplicando el número de lados por la longitud de uno de ellos.
¨ Área:
medida de su superficie.
Ø Área de un polígono cualquiera:
dividir el polígono en triángulos y sumar las áreas de cada uno de ellos.
Ø Área de un polígono regular:
los triángulos pueden ser iguales e isósceles, con lo que: 
à Apotema del polígono:
altura de cada uno de los triángulos isósceles en los que se ha descompuesto (
considerando los lados del polígono como bases de los triángulos)
o
Círculo.
§ Definición:
¨ porción del plano limitada por una
circunferencia y su línea.
¨ Lugar geométrico de los puntos del
plano, cuya distancia a un punto, llamado centro, C, es
menor o igual que un valor, r, denominado radio.
§ Ecuación
del circulo que tiene como centro el punto C (c1, c2) y como radio r, es:
§ Área
del circulo: 
§ Superficies
relacionadas con el circulo:
¨ Angulo central:
determinado por 2 semirrectas que contienen 2 radios, y que tiene su vértice en
el centro del círculo.
¨ Sector circular:
intersección de un círculo con cualquier ángulo central del mismo.
Ø Angulo central es un ángulo llano el
sector circular es un semicírculo. 
Ø Calculo del área:(π×r^(2
)×n)/(360º) ( n, es el número de grados
del ángulo central que determina el sector circular) 
¨ Segmento circular:
porción del círculo comprendida entre una cuerda y su arco correspondiente. 
Ø Al segmento circular se le denomina
semicírculo cuando la cuerda es el diámetro
Ø Área: hay que quitar
al área del sector circular asociado al segmento la del triángulo determinado
por el centro del círculo y la cuerda.
¨ Corona circular:
porción del plano delimitada por dos circunferencias concéntricas ( tienen el
mismo centro) 
·
Figuras
en el espacio
o
Introducción:
§ Nueva
dimensión: 2 rectas secantes y 1 recta no coplanaria (no del
mismo plano) con ellas y que sea perpendicular a las 2.
§ La
nueva dimensión completa las 2 que ya tenía el plano.
¨ Las tres dimensiones configuran el
espacio ( ente geométrico)
¨ Cualquier plano del espacio lo
divide en 2 regiones denominadas semiespacios, que incluyen el plano.
o
Ángulos
en el espacio.
§ 2
planos en el espacio, las posiciones que pueden tener son:
¨ Planos secantes:
tienen solo una recta en común 
Ø Obtendremos la medida de este ángulo:
midiendo la amplitud del ángulo llano que determinan 2 semirrectas contenidas
en cada uno de los semiplanos y que sean perpendiculares a la recta de
intersección de estos.
Ø Determinan 4 regiones en el espacio llamadas
diedro o ángulo diedro, también se les llaman así a los semiplanos que las
delimitan.
¨ Planos paralelos no coincidentes:
no tienen ningún punto en común. 
¨ Planos paralelos coincidentes:
tienen todos los puntos en común. 
§ Número
de planos que consideramos en el espacio es superior a 2= cantidad de
posiciones en las que nos los podremos encontrar aumenta
¨ Fijarse que: en situaciones donde
todos los planos tienen solo un punto en
común.
¨ Las 2 semirrectas consecutivas deja
a todas las demás en el mismo semiespacio.
Angulo poliedro
|
||
Poliedro convexo
|
Poliedro diedro o triedro
|
Angulo poliedro con n caras.
|
intersección
de todos los semiespacios determinados por los planos que cada pareja de
estas semirrectas consecutivas define
|
Ángulo
que recibe ese nombre cuando hay 3
planos.
|
El número de caras que determina el ángulo(n) es igual o superior a 4
|
Vértice del
ángulo: es el origen
común de las semirrectas y cada una de ellas es una arista del ángulo
poliedro
|
Angulo poliedro con h caras o se usan
las raíces griegas
|
|
Medidas
de los ángulos poliedros se obtiene:
sumando
las amplitudes de todos los ángulos bidimensionales que determinan las
aristas del ángulo poliedro.
Deberá ser
menor que 360º: si la iguala o
supera el ángulo poliedro dejaría de serlo y se convertiría en un ángulo
completo y por tanto, plano en el espacio.
|
||
o Cuerpos geométricos:
figura geométrica que resulta de
considerar una parte del espacio limitada por una superficie cerrada simple o
solida ( solo delimitan una región interior en el espacio)
§ Se pondrán definir cuerpos geométricos, cóncavos y
convexos.
§ En el espacio podemos encontrar superficies curvas
finitas, que pueden ser:
¨
Abiertas:
cuando no rodea una zona del espacio.
¨
Cerradas:
rodean una zona del espacio
§ Las superficies planas finitas son siempre abiertas.
§ 2 tipos de cuerpos geométricos:
¨
Poliedros:
cuerpo geométrico limitado por polígonos (superficies cerradas simples)
Poliedro
|
Poliedro
convexo
|
|
Caras del poliedro= son los polígonos
|
Por lo menos 4 caras
|
En cualquier
poliedro convexo se cumple la fórmula de Euler:
relaciona el número de caras ( C), de
vértices (V) y de aristas (A), según
C+V = A+:
|
Aristas del poliedro= lados del
polígono.
|
Por lo menos 4 vértices
|
|
Vértices del poliedro = vértices de
los polígonos.
|
Por lo menos 6 aristas.
|
|
Ø Un vértice de un
poliedro pertenece a 3 caras y a 3 aristas.
Ø Poliedros
regulares o platónicos:
à Condiciones que
ha de cumplir: regularidad en sus
caras, igualdad en estas e igualdad en los ángulos del mismo tipo que se forman
en el poliedro.
à La medida de un
ángulo poliedro debe ser menor que 360º y en cada vértice deben concurrir 3
caras como mínimo.
Caras (
solo con estas)
|
Nº de caras por vértice
|
Suma de los ángulos
|
poliedro
|
Representación.
|
Triángulos
equiláteros: Deltaedros. (Polígonos
que todas sus caras son triángulos equiláteros.)
|
3
|
 |
Tetraedro regular
|
 |
4
|
 |
Octaedro regular
|
 |
|
5
|
 |
Icosaedro regular
|
 |
|
6
|
 |
No existe
|
||
Cuadrados
|
3
|
 |
Cubo o hexaedro
regular
|
 |
4
|
 |
No existe
|
||
Pentágonos regulares
|
3
|
 |
Dodecaedro regular
|
 |
4
|
 |
No existe
|
||
Hexágonos regulares
|
1
|
 |
No existe
|
|
No hay más porque la
suma 3 ángulos de otro poliedro regular sería superior a 360º
|
||||
Ø Familias
particulares, las estudiaremos las primeras:
Tipos de prisma
|
|
Bases son polígonos cóncavos o convexos:
prisma cóncavo.
|
|
Prisma recto:
todas las aristas laterales y las
caras laterales (rectángulos) son
perpendiculares a la base.
|
|
Polígono regular:
sus bases son polígonos regulares
|
|
Prisma oblicuo:
caras laterales no son perpendiculares
|
|
Según
el tipo de polígono en la base, los prismas pueden ser
|
triangular (base de triangulo),
|
cuadrangular (su base es un
cuadrilátero),
|
|
Pentagonal
(su base es un pentágono….
|
|
à Prisma: poliedro limitado por 2 polígonos iguales y
paralelos (bases) y algunos paralelogramos (caras laterales), de los cuales
habrá tantos como lados tenga la base. La altura del prisma es la distancia
entre las bases. Las aristas laterales son segmentos iguales y paralelos entre
sí.
◊
Desarrollo plano de un prisma: resultado de desplegar y colocar encima de un plano
todas sus caras de manera que estén unidas por una arista.
◊
Paralelepípedos: prisma
cuyas caras son todas paralelogramos. Caras opuestas son iguales
-
Ortoedro: todas
las caras son rectángulos.
-
Hexaedro regular o cubo: sus caras son cuadrados.
-
Romboedro: sus
caras son rombos.
◊
Calculo del área total de un prisma de
un octoedro y de un cubo: sumar
el área de las 2 bases y el área lateral (suma de todas las caras laterales).
◊
Calculo del volumen: calcular solo el área de una de las bases y
multiplicarla por la altura.
à Pirámides: poliedro que tiene como base un polígono cualquiera,
y como caras laterales triángulos con vértice común (vértice, cúspide o ápice
de la pirámide), la altura es la distancia del vértice al plano de la base.
Tipos de pirámides.
|
|
Pirámide
convexa: su base es un polígono convexo.
|
|
Pirámide
cóncava: su base es un polígono cóncavo,
|
|
Pirámide
recta: sus caras laterales son triángulos
isósceles o equiláteros.
|
|
Pirámide
oblicua: sus caras laterales no son
triángulos isósceles ni/o equiláteros.
|
|
Según sus
bases: pirámide triangular (triángulo de
base), cuadrangular (cuadrilátero de base), pentagonal (pentágono de base).
|
|
Pirámide
regular: su base es un polígono regular y el
vértice de la pirámide se proyecta encima del centro de su base
|
Todas sus
aristas laterales son de la misma longitud
|
Las caras
laterales son triángulos isósceles iguales.
|
|
Apotema: altura del triángulo.
|
|
El vértice de la pirámide se proyecta encima del
centro de su base.
|
|
◊
Tronco de pirámide: cuerpo comprendido
entre los 2 planos al truncar la pirámide por un plano paralelo al de la base.
-
Tronco de pirámide recta: tiene 2 bases
que son polígonos semejantes. La distancia entre las bases es la altura del
tronco.
-
Pirámide regular: tronco
de pirámide regular. Las caras laterales son trapecios isósceles iguales. La
altura de cada uno es la apotema del tronco de pirámide.
-
Calculo del área total: suma de las áreas de las bases y el área lateral (
suma de las áreas de las caras laterales)
-
Calculo del volumen: usar el teorema de Thales ( volumen como diferencia
entre los volumen de dos pirámides)
◊
Calculo del área total de la pirámide: suma total del área de la base y el área lateral (
suma de las áreas de las caras laterales)
◊
Calculo del volumen de la pirámide: multiplicar por 
el volumen de un prisma que tenga la misma
altura que esta y cuyas bases sean polígonos iguales a la base de la pirámide.
el volumen de un prisma que tenga la misma
altura que esta y cuyas bases sean polígonos iguales a la base de la pirámide.
Ø Poliedro no
regulares:
à carece
de alguna de estas condiciones:
regularidad en las caras, igualdad en estas e igualdad en los ángulos del mismo
tipo que se forman en el poliedro.
Ø Polígono
Arquimediano:
à
Características:
◊
Tiene las siguientes condiciones:
regularidad en sus
caras e igualdad en los ángulos del mismo tipo que se forman en el poliedro
◊
Carece de esta condición: no hay igualdad en sus
caras.
¨
Cuerpos redondos: cuerpo
geométrico delimitado por superficies curvas y/o planas no poligonales
(superficies cerradas simples), son aquellos cuerpos que derivan del círculo o
que contienen círculos entre las superficies que los delimitan.
Ø Cuerpos de
revolución: solidos que resultan al girar una figura plana
alrededor de un eje (eje de revolución), los más representativos son:
à Cilindro: Superficie
cilíndrica circular recta ( superficie infinita en forma de tubo):
◊
Se forma: al hace girar una recta (generatriz), alrededor
de un eje paralelo a ella, o cuando una recta se desplaza paralela a sí misma y
tangente a una línea curva cerrada ( directriz)
◊
Tipos:
-
Cilindro oblicuo:
su generatriz no es perpendicular a las bases.
-
Cilindro circular recto o cilindro recto: cuerpo geométrico que se obtiene al hacer girar un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
◊
Bases del cilindro: 2 círculos
formados en la intersección de los planos con la superficie cilíndrica.
◊
Superficie o cara lateral del cilindro:
superficie cilíndrica comprendida entre ambas bases
◊
Altura (h) o generatriz del cilindro:
segmento de la generatriz comprendido entre las 2 bases.
◊
Radio de las bases= radio del cilindro (r )
◊
Calculo del área total: sumar
el área lateral además del área de las bases.
-
Área lateral:
-
Área bases:
◊
Volumen: 
◊
Extender la idea de cilindro ( recto u oblicuo) a otros cuerpos redondos
semejantes: que tenga bases con superficies
planas delimitadas por elipses u otro tipo de línea cuerva cerrada
à
Cono:
◊
Superficie cónica:
-
Puede ser: superficie infinita en forma de 2 cucuruchos con
vértice común, creada al girar una recta (generatriz) alrededor de un eje al
que corta.
-
Puede ser:
superficie generada por una recta que se desplaza manteniendo fijo uno de sus
puntos y de manera tangente a una línea curva cerrada ( directriz)
◊
Tipos de conos:
-
Cono oblicuo: el plano de la base del cono circular
no es perpendicular al eje de revolución ( la altura del cono no pasa por el
centro de la base)
-
Cono circular recto o cono recto: obtenido al
girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos
◊
Base del cono (circulo): intersección del plano
perpendicular al eje de revolución con la superficie canónica (cara).
◊
Superficie o cara lateral del cono: superficie
cónica comprendida entre ella y el vértice.
◊
Generatriz del cono (g): segmento de la
generatriz comprendido entre el vértice y la base.
◊
Altura del cono (h): segmento de la perpendicular
a la base del cono trazada por el vértice de este.
-
Conos rectos: la altura une el vértice con el centro de la base.
◊
Radio del cono (r) = radio de la base.
◊
Área total del cono: suma del área lateral
junto con la de la base. A=
-
Área lateral:
-
Área base: 
◊
Volumen de un cono: multiplicar por el volumen de un cilindro que tenga la misma
altura que el cono y cuyas bases sean círculos iguales a la base del cono. 
el volumen de un cilindro que tenga la misma
altura que el cono y cuyas bases sean círculos iguales a la base del cono.
◊
Extender la idea de cono (recto y/o oblicuo) a otros cuerpos redondos
semejantes:
cuya base es una superficie plana que puede estar delimitada por elipses y otro
tipo de líneas curvas cerradas planas.
à
Tronco de cono:
◊
Puede ser:
-
Cuerpo geométrico: comprendido
entre 2 planos al cortar un cono por un plano paralelo que contiene a la base.
-
Cuerpo de revolución: generado
al girar un trapecio rectángulo alrededor de la altura.
◊
Tiene dos bases circulares.
◊
La altura (h): distancia
entre las bases.
◊
Generatriz (g): segmento
que ha generado la superficie lateral
◊
Triangulo rectángulo: formado
por la altura (h), la generatriz (g) y la diferencia entre radios.
◊
Área total: suma del área lateral más el área de las bases.
-
Área lateral:
-
Área de la bases:
◊
Calcular volumen: observar datos proporcionados y usar el teorema de
Tales ( volumen como la diferencia entre volúmenes de 2 conos)
à Esfera:
◊
Generada: al girar un semicírculo alrededor del diámetro
◊
Es un:
lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia a un punto C, es
menor o igual que un valor R ( radio)
◊
Superficie esférica: generada al girar una semicircunferencia alrededor
de un diámetro.
◊
Su desarrollo en el plano no es
exacto.
◊
Área de la esfera: 
◊
Figuras derivadas de la esfera y la
superficie esférica:
-
Casquete esférico:
cada una de las dos partes de la superficie esférica que resultan de cortar
esta con un plano.
-
Segmentos esféricos de la base: partes resultantes de cortar una esfera.
-
Semisuperficies esféricas o 2 semiesferas: semisuperficies generadas al pasar el plano
secante por el centro.
-
Zona esférica:
porción de superficie esférica comprendida entre 2 planos paralelos que la
cortan.
-
Segmento esférico de 2 bases: cuando los planos cortan una esfera.
-
Huso esférico:
intersección de diámetro.
·
Transformaciones
geométricas en el plano: aplicación biyectiva
del espacio en sí mismo que a una figura geométrica le hace corresponder otra
figura
o
Movimientos
rígidos o isometrías: transformaciones
geométricas que conservan las dimensiones de la figura (la distancia entre los
puntos de la figura original es la misma que la que hay entre sus
correspondientes homólogos en la figura transformada). Dos figuras homologas
por una isometría = figuras congruentes.
§ Translaciones.
§ Giros
o rotaciones.
§ Simetrías
axiliares: denominadas movimientos inversos porque son un
movimiento que cambia el sentido de rotación del plano.
§ Composición
de movimientos en el plano.: si aplicamos sucesivamente
dos movimientos a una figura geométrica plana obtenemos como resultado una
figura congruente con la primera = figuras homologas gracias a una composición
de movimientos.
¨ Se componen dos simetrías axiliares
= traslaciones, paralelos o secantes.
o
Transformaciones
equiformes: transforma una figura en otra de la
misma forma y dimensiones proporcionales a las de la original(se dice que son
semejantes)
§ Proporcionalidades
de segmentos
§ Teorema
de Thales.
§ Homotecias.
§ Semejanzas.
¨ Una semejanza:
transformación geométrica en el plano que resulta de la composición de una homotecia
y un movimiento rígido o al revés.
¨ Dos figuras son semejantes:
tienen la misma forma y las dimensiones de los segmentos homólogos son
proporcionales.
¨ Cualquier homotecia es una
semejanza donde el movimiento rígido utilizado en la composición de
transformaciones es la identidad.
·
Transformaciones
geométricas en el espacio.
o
Traslación
espacial: definición de traslación espacial pero las figuras y
los vectores son tridimensionales.
o
Giro
en el espacio: igual que la de giro en el plano pero
en este caso se gira alrededor de un eje que se mantiene fijo ( no alrededor de
un punto)
o
Simetría
axial en el espacio: giro espacial cuyo eje
es el de la simetría y la amplitud del ángulo de giro es de 180º
o
Homotecia
espacial: homotecia en el plano pero con figuras
tridimensionales.
o
Semejanza
espacial: semejanza en el plano pero con figuras
tridimensionales.
o
Simetría
especular:
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