Capacidades en números racionales y naturales. Primária.

1.1.                 Capacidades a desarrollar en el aula de primaria.

1.1.1.      Algunas consideraciones precisas ( importantísimo):

·         Situaciones donde son necesarios los números racionales.

o   Partes de una unidad

o   Representar cociente de una división

o   Representar razones numéricas

o   Fracciones como operador.

·         Habilidades para entender parte-todo.

o   Un todo SIEMPRE se puede dividir en partes.

o   Siempre se podrá dividir en el número de partes pedidas ( cuando la unidad sea continua)

o   Las subdivisiones han de cubrir toda la unidad

o   El número de partes No coincide  el número de cortes necesariamente

o   Las partes han de ser iguales (no se ha de confundir igual con forma, color, textura…)

o   Una parte separada puede considerarse una nueva unidad y volver a ser dividida.

o   La unidad se conserva aunque se divida.

o   Adquirir un control simbólico de las fracciones.

o   Distinguir las relaciones parte-todo, en contextos continuos y discretos

o   Trabajar fracciones mayores que la unidad

o   Trabajar subdivisiones equivalentes.

·         Lo que tienen que aprender los niños en el aula (no de memoria, solo entender).

Respecto de fracciones	Respecto de decimales
1-      Conocer las diferentes interpretaciones de las fracciones, utilizando métodos manipulativos, gráficos y numéricos.
2-      Comprender y  conocer que una décima, centésima, milésima… se obtiene dividiendo respectivamente la unidad en 10, 100, 1000… partes iguales. Fracciones decimales.
	3-      Comprender la conservación del valor de un numero decimal, independientemente de los ceros añadidos a la derecha de la expresión decimal de este.
4-      Obtener un número decimal a partir de una fracción decimal y a la inversa.
5-      Obtener fracciones y números decimales
6-      Sumar y restar fracciones con igual denominador	7-      Sumar y restar números decimales.
8-      Comprender que se obtiene el mismo sumando o restando cantidades expresadas en forma de fracción decimal que expresadas en forma de numero decimal.
	9-      Multiplicar y dividir números decimales por naturales.
10-  Reconocer la equivalencia de fracciones en situaciones reales y analíticamente. Obtener la fracción irreducible de una familia de fracciones equivalentes
11-  Sumar y restar fracciones con distinto denominador. Multiplicar y dividir fracciones	12-  Multiplicar y dividir números decimales.
13-  Obtener la fracción generatriz que corresponde  a cualquier expresión decimal y viceversa.
14-  Aplicar los conocimientos sobre fracciones y expresiones decimales para resolver e inventar problemas.

1.1.2.      Conocer las diferentes interpretaciones de las fracciones, utilizando métodos manipulativos, gráficos y numéricos.

·         Usaremos situaciones problemáticas para introducirlas.

·         Los números enteros se introducen 6º de primaria así que casi no hay números negativo en primaria, al principio no es necesario el signo.

·         Definición formal: fracción es con números enteros en el denominador y numerador, en el colegio será con números naturales.

·         Primer concepto a trabajar es la UNIDAD. Será todo lo que queramos partir.

·         Como en 3º de primaria se empieza a dividir, en 4º introduciremos las fracciones.

·         Empezaremos con situaciones reales y cotidianas donde la unidad es CONTINUA (manipulando con papel continuo, cartulina, cuerdas, piezas, pasteles etc.). No hay restricciones en las partes para hacer, ( ej.: empezar con una pieza dividida en 3 partes iguales)

·         Pueden aparecer diferentes posibilidades:

o   ¿Quién quiere menos de 1 pizza?7

o   ¿Quién quiere  una piza entera?

o   ¿Quién quiere menos de una piza?

·         Estas situaciones las aprovechamos para reconducir la actividad hasta la representación de las fracciones.

o   DOS PORCIONES DE TRES ( hay que remarcar que la unidad, de referencia, esta partida en 3)

-          En un primer momento se escribirá “2 porciones de 3 para (nombre del niño o niña) “. No hay que pasar en un primer momento a la representación simbólica de la fracción. Es bueno escribirlo y comentarlo, hasta que sea normal ahorrarnos tiempo en escribir y espacio en la pizarra y se piense en un cambio.

-          Espontáneamente saldrá que hay que escribir menos, así que introduciremos la fracción. Será un simbolismo para ahorrar, aparecerá:

·         A partir de algunos ejemplos de fracciones y las propuestas de los niños, se llegara a que para leer fracciones es:

o   Numerador como cardinal

o   Denominador como ordinal, observación: si el denominador es mayor o igual a 11 añadiremos avo si la asignatura se imparte en castellano.

-          Tres cuartos, dos quintos, un sexto… tres decimos, un onceavo…

-          Excepción: 2 y 3 se leen medios y tercios.

o   ¿Quién quiere la piza entera? Usaremos la notación introducida: “tres tercios de piza: 3/3” remarcaremos “piza entera, 1”, pues será la conexión entre la unidad y la piza troceada. Ha de quedar claro que comerse 3 trozos es comerse la piza, que es la unidad completa, 3/3=1. Las fracciones a/a se llaman FRACCIONES UNIDAD.

o   Si hay algún niño o niña que quiera más de una piza (si no se da el caso, aprovecharemos otra situación, no forzarla).

-          Ejemplo: si quiere 4 porciones, se plantea la duda de como representarlo en forma de fracción.

-          Error común: escribir en el denominador las partes de las 2 unidades y expresar por 476.

·         Ellos han de buscar la respuesta correcta, hay varias soluciones:

o   1 y 1/3, analíticamente es 1+ 1/3. Podemos usar esta respuesta para introducir la notación  1. 1/3 que se llama NUMERO MIXTO.

o   Escribir 4/3 que es la representación numérica asociada al concepto de fracción y el significado de los términos de esta, las partes de la unidad se mantienen, se modifica el numerador pues escogemos más partes que la unidad, más de una pizza.

o   Después de ver estas 2 representaciones se dedicara la utilización de la segunda por la forma parecida que tiene con las otras fracciones. Aunque se podrá utilizar las otras.

·         En este punto podemos introducir las siguientes definiciones:

o   FRACCION PROPIA: el numerador es un entero menor que el denominador (son menores que la unidad).

o   FRACCION IMPROPIA: el numerador es un entero mayor que el denominador ( son mayores que la unidad)

·         Una vez que tengan clara la situación manipulativa (pizza, tarta…), abandonaremos la presencia física y pasaremos a la representación gráfica de la fracción. Utilizaremos la recta numérica.

·         Una vez entendidas las fracciones en unidades continuas, pasaremos a unidades discretas. Remarcaremos las diferencias con las situaciones anteriores.

·         Podemos encontrar situaciones en las que el número de partes coincida con el número de elementos que componen la unidad discreta y casos que las partes se dividen.

o   Ejemplo: preparamos la merienda con paquetes de 8 galletas de chocolate (el número de elementos de la unidad es 8. Queremos saber cuántas galletas quiere cada alumno.

-          ¿Quién quiere menos de un paquete?

-          ¿Quién quiere el paquete?

-          ¿Quién quiere más de un paquete?

o   Estas situaciones nos servirán para introducir las fracciones:

-          5 galletas de 8 (hay que indicar que la unidad de referencia esta partida en 8 elementos INDIVISIBLES) como se ha realizado el trabajo previo en continuo, se pedirá directamente la fracción 5/8.

-          Paquete completo.

-          Más que un paquete, imaginemos que una niña o niño quiere 10 galletas. Igual que con el continuo podemos encontrar quien diga 10/10. Pero no es correcto, ha de llegar a 1 y 2/8 ; 1 2/8 o 10/8

o   Se trabajara la situación en el que el número se partes dividen al número de elementos que componen la unidad. Ejemplo: las 8 galletas del paquete están embolsadas en bolsas de 2, así que la unidad se organiza en 4 partes. Preguntas:

-          ¿Quién quiere menos de un paquete?

-          ¿Quién quiere un paquete?

-          ¿Quién quiere más de un paquete?

o   Situaciones:

-           3 bolsas de 4: 3 / 4

-          Paquete completo: 4/4

-          Más de un paquete. Ej.: quieres 5 paquetes.

§  No se escribirá 5/8 ¿Por qué?

§  Es 1  ¼ o 5/4

o   Es ambas situaciones, se ha de trabajar como en el caso continuo, las fracciones propias, unidad e impropias.

·         En 3º ciclo de primaria, trabajaremos el resto de situaciones en las que se necesiten funciones.

·         Usaremos la fracción para representar el cociente de una división indicada: EJ: queremos repartir 3l de zumo entre 7 personas, podemos hacer la división 3 ¸ 7 o 3/7.

·         Usaremos las fracciones para representar razones entre 2 números:

o   Proporcionalidad: 4/10 relación entre número de niños y personas que van a una comida familiar

o   Probabilidad: 4/10 probabilidad de que sea niño la persona escogida entre 10 que van a una comida familiar.

o   Porcentaje: 40/100 porcentaje de niños que van a una comida familiar. Se puede describir como 40% ( más utilizada)

·         En todos estos casos, las fracciones son representaciones de las relaciones numéricas que se establecen entre los números que aparecen en las situaciones.

·         Fracciones cuando operan sobre un número. Ej.: queremos saber cuántos kilogramos hemos recomido si hemos realizado los 2/5 de un camino de 60Km. Hace falta adivinar cuanto es una quinta parte de 60 y multiplicarlo por 2. Obtenemos 24 Km.

·         Para trabajar será e 6º y 5º curso, la noción de fracción ya está interiorizada y la utilizan como herramienta. No introduciremos la fracción para resolver estas situaciones, sino para resolver problemas

1.1.3.      Comprender y reconocer que una décima, centésima, milésima… se obtiene dividiendo la unidad en 10, 100, 1000… partes iguales. Fracciones decimales.

·         La primera conexión entre la manera de expresar una situación con fracción y una expresión decimal puede ser esta. Se inicia en 4º de primaria y continua en 3º ciclo.

·         A partir de la representación material (pastel, cuerda, regletas…) o grafica de una décima parte aparecida en una situación real problemática (un cuadro) y la transcripción simbólica de esta, 1/10, hay que plantearse si estas nuevas expresiones pueden escribirse utilizando el sistema de numeración que ya conocen. Y con el que han representado hasta ahora los números naturales y  resolver sus problemas: Sistema Numérico Decimal.

·         Consiste en pensar como representar partes menores de la unidad, sabiendo que las unidades de orden superior se escriben hacia la izquierda de esta.

·         Llegaran a la conclusión que las partes menores de la unidad se escriben a la derecha, siguiendo el esquema de funcionamiento del SND (la primera fila a la derecha corresponde a la décima parte, la segunda a la centésima…) descubrirán la necesidad de usar una coma para separar las cifras que representan cantidades enteras y partes menores de la unidad.

·         Material:

o   Abaco: situamos uno nuevo a la derecha para a representar la parte decimal.

-          Las unidades decimales están ordenadas en sentido inverso al crecimiento de su valor, así las decimas (unidades de 1º orden) tienen un valor superior a las centésimas (2º orden).

§  351,286 à el 2 es superior al 8. El 5 es superior al 1. El  2 ocupa el lugar de las décimas y tiene un valor superior a las centésimas, es decir, al 8. No ocurre lo mismo con el 1 y el 5 de la parte entera.

o   Bloques multibase: modificando el significado de las piezas para subdividir lo que consideramos la unidad

·         Escribir 1/10 usando SND: como no hay ninguna unidad entera ponemos 0 en las unidades. Para escribir la décima parte no la podemos escribir a la izquierda porque es donde van las decenas, así que hay que ponerlo a la derecha (01). Necesitamos añadir la coma, para separar la parte decimal de la entera (0,1). Se leerá: una décima.

·         De la misma  forma llegaremos a la centésima y a la milésima, insistiendo que cada nuevo orden se obtiene al dividir en 10 partes iguales una unidad de orden inmediatamente inferior y la cifra que la representa se escribe a la derecha de la cifra anterior.

o              se expresa 0,01   se lee centésima

o              Se expresa 0,001  se lee milésima.

·         Asumimos que las fracciones donde aparezca el 1 en el numerador y la unidad seguida de ceros en el denominador se traduce 0,000….1. se llaman EXPRESIONES DECIMALES EXACTAS.

·         Después trabajaran fracciones del mismo tipo pero con el numerador diferente.

o              Representa 0,2

o              Representa 0,05

o              Representa 0,13

·         Una manera rápida de encontrar esta expresión es escribir el numerador de la fracción, con una coma situada en la posición necesaria para que hayan tantas cifras decimales como ceros acompañan a la unidad del denominador ( si hace falta se añaden ceros a la izquierda de las cifras que componen el numerador)

·         Se trabaja igual con fracciones impropias, se observa que hay unidades enteras y partes menores que la unidad.

o              Siguiendo el procedimiento anterior 2,3

o               Siguiendo el procesamiento anterior 1,35

·         FRACCIONES DECIMALES: todas las fracciones que tengan en el denominador una potencia de 10.

o   Se pueden representar con decimales exactos.

o   CONJUNTO DE NUMEROS DECIMALES: es el subconjunto de Q,  esta generado por estas fracciones, y se representa por D.

·         Pueden aparecer cuestiones como           y su equivalente, o sea,       , si se da el caso, con representaciones adecuadas se explicaría la equivalencia. Si no se da, esperaremos a trabajarlo en la capacidad de equivalencia más intensamente.

·         Verbalización correcta de las representaciones.

o   FRACCIONES PROPIAS:

-                  Siete partes de 10, siete décimas partes, siete decenas…

-          0,7   cero coma siete, cero unidades siete décimas, siete décimas…

o   FRACCIONES IMPROPIAS:

-                 Setenta y tres partes de 10…

-          7,3  siete coma tres, siete unidades tres décimas…

·         Hay que leer correctamente, así se evitan confusiones. Para profundizar aprovechamos situaciones relacionadas con el sistema métrico decimal y el sistema monetario

o   6,98: seis unidades noventa y ocho centésimas

o   6,098: seis unidades noventa y ocho milésimas.

1.1.4.      Comprender la conservación del valor de un numero decimal, independientemente de los ceros añadidos a la derecha de la expresión decimal de esta.

·         Se trabaja a partir de 2 ciclos de primaria. Empezamos con los números decimales que derivan de las fracciones propias.

·         Situación cotidiana donde se aplica esta capacidad: actividad relacionada con la medida “2 grupos de alumnos miden diferentes objetos, unos utilizan decímetros y otros centímetros. El resultado de una de las medidas es 7dm, el otro grupo obtiene 70cm. Si lo pasan a metros el primer grupo obtiene 0,7m y el otro 0,70m. como es el mismo objeto, la comprobación de que representan lo mismo es inmediata”

·         Hay que generalizarlo para cualquier expresión decimal exacto, utilizando otros materiales.

o   Ejemplo: 2 cartulinas cuadradas de la misma superficie. Un grupo la divide en 10 partes y otro en 100 partes. El primero coge 7 y el segundo 70.

-          Observación: los dos grupos cogen la misma cantidad.

-          Conclusión: son expresiones decimales diferentes de la misma cantidad y por tanto podemos extraer los ceros de la derecha, comprobando que no cambia el valor de la expresión.

-          Observación: equivalencia de funciones, aunque no se ha trabajado específicamente este concepto. Necesitamos recuperar esta información cuando se vuelva a necesitar.

-          Material: ábacos.

·         Con fracciones impropias la situación es similar pero con parte entera no nula en el número decimal. Se volverá a trabajar en 4º y se ampliara en 5º de primaria. Se puede usar material real o representaciones graficas como ayuda.

·         Se ha de automatizar y trabajar con lápiz y papel esta capacidad, con actividades del tipo siguiente:

o   Relaciona una expresión de cada columna con las otras que representan la misma cantidad.

o   Conviene realizar ejercicios de lectura de estos decimales, para comprobar las diferentes maneras de leer estas mismas cantidades.

o   Una aplicación de esta capacidad: para facilitar la operatividad con números decimales.

1.1.5.      Obtener un número decimal a partir de una fracción decimal y al revés.

·         Esta capacidad empieza cuando en la fracción decimal con                   … las expresiones decimales exactas para representar las fracciones decimales utilizando el SND. Consiste en completar este trabajo estudiando la manera de obtener fracciones decimales a partir de las expresiones decimales exactas correspondientes.

·         Pondremos el numero sin coma en el numerador y en el denominador el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales hayan.

·         Necesario para poder operar con números decimales, utilizando indistintamente fracciones decimales o expresiones decimales según se necesite.

1.1.6.      Ordenar fracciones y números decimales.

·         introducción

o   Recordamos que el conjunto Q es un conjunto completamente ordenado: no hay duda a la hora de saber si un número racional es mayor o menor que otro.

o   Como los números de Q se pueden expresar en fracción o en expresión decimal, distinguiremos las dos posibilidades

·         Ordenar fracciones

o   Si tienen el mismo denominador (3º ciclo)

-          Situación problemática: cogemos de 2 cuerdas iguales 2 trozos, uno de 2/5 de cuerda y otro de 3/5 de cuerda.

-          Queremos saber si 2/5 es menor o igual que 3/5. Esta situación es muy intuitiva y posiblemente por comparación directa del material.

-          En este caso la fracción con numerador más pequeño es menor que la otra.

-          Para generalizare este hecho, sin soporte de material o situación real, utilizaremos como ayuda la representación de las fracciones en la recta numérica.

-          Para representar fracciones dividiremos el segmento ente 0 y 5  en 5 partes iguales y escribiremos las fracciones donde corresponden

-          Como el orden de la recta numérica se ha entendido con números naturales, la fracción situada más a la izquierda es la menor.

-          Una vez comprobado en situaciones parecidas, daremos la norma general: cuando 2 fracciones tienen el mismo denominador, es menor la que tiene el numerador más pequeño.

o   Con diferente denominador, pero igual numerador (3º ciclo)

-          Situación problemática real: cogemos 2 cuerdas iguales, las cortamos de longitud ½ y 1/3. Queremos saber que fracción es menor.

§  Conclusión a partir de la comparación directa de trozos: 1/3 es más pequeño que ½.

§  Se comprueba que la fracción con denominador más grande es menor que la otra.

§  Como ayuda, sin material, usaremos la representación. Dividiremos el segmento entre 0 y 1 en 3 o 2 trozos, escribimos las fracciones donde corresponda.

-          La dificultad añadida es que el número de partes que se han de hacer no es igual para las dos fracciones. Las divisiones hay que hacerlas con marcas diferentes.

-          Nuevamente, como conocen la numeración de la recta numérica de los números naturales, la fracción a la izquierda es la menor.

-          Después de comprobar diversos casos, llega la norma general: cuando 2 fracciones tienen el mismo numerador, es menor la que tiene un denominador más grande.

o   Diferente numerador y denominador (3º ciclo)

-          Situación problemática: cogemos 2 cuerdas iguales, cortamos 3/5 de la primera y ½ de la segunda. Queremos saber quién es más pequeña.

§  Conclusión a partir de la comparación directa de trozos: de que ½ es más pequeño.

-          Después de analizar más casos se llega a la conclusión de que no hay una norma general para ordenar estas fracciones.

-          Para encontrar la norma usaremos la recta numérica y representaremos el caso anterior, aunque no nos ayuda a encontrar la norma general, ya que hay una relación directa entre los numeradores y los denominadores y el orden de fracciones

-          Preguntaremos si podemos usar alguna norma que sabemos. Han de usar la que ordena fracciones con denominadores iguales.

§  Como se trabajara esta ordenación en 6º de primaria, ya han trabajado la reducción de numeradores en sumas y restas, utilizan la misma técnica para convertir las fracciones iniciales en fracciones equivalentes con mismo denominador. Luego hay que ordenar por nuevos numeradores las fracciones obtenidas y ordenar a partir de estas, las fracciones iniciales.

·         Ordenar expresiones decimales.

o   Se trabaja en 5º de primaria

o   Se ha de relacionar la nueva ordenación de números decimales con la ordenación de números naturales, intuitivamente, no son de la misma manera.

o   En números naturales 7 es menor que 66, hay que ser consciente que 0,66 es menor que 0,7, es complicado y no evidente.

-          Necesitamos:

§  Fase manipulativa: medir 7 dm de cuerda y 66 cm de esa cuerda

§  Representación gráfica: representándolo o manipulando el material ( cuadrantes iguales)

o   Los problemas aparecen cuando se ordenan decimales sin usar materiales ni representaciones

o   Para resolver dudas hay que utilizar las reglas para N. primero se ordenara la parte entera, si esta es distinta, ya están ordenadas las expresiones.

o   Si las partes enteras son iguales, hay que ordenar dependiendo de las cifras decimales, empezando por las décimas, si son diferentes ya está, pero si son iguales comparamos centésimas, milésimas…

o   Error común entre alumnos: pensar que si hay más cifras decimales el número es mayor, por ejemplo, (136,652312) es mayor que (136,65232), equivocación que se soluciona usando el criterio anterior.

o   Posteriormente al trabajo con materiales o representaciones gráficas y su verbalización, hay que hacer el paso siguiente que es la  representación simbólica de la relación de orden, utilizando los signos conocidos para N:

1.1.7.      Sumar y restar fracciones con igual denominador.

·         La suma de fracciones empieza en 6º de primaria. En el mercado, en casa, con las comidas… hay muchas situaciones que pueden implicar una adición de partes.

·         En el nivel grafico o manipulativo no hay problemas, o hay pocos, sin embargo, encontraremos muchos a la hora de pasar a la fase simbólica.

·         fracción propia más fracción propia, con una facción propia como resultado:

o   Ejemplo: un niño se come 3 porciones y otro 2 de una pastilla de chocolate de 8 porciones iguales. ¿qué parte de la pastilla se han comido entre los dos?

-          Se necesita hacer la suma entre 3/8 y 2/8

-          En la situación real no hay problema en ver que se han comido cada uno y representarlo respecto a la unidad.

-          Representación gráfica, hay que tener cuidado de representar la unidad siempre y sobre esta las partes. Es fácil  saber que se coman 5 partes de 8, en fracción 5/8

-          En ambos se observa que el resultado es una fracción cuyo numerador es la suma de los 2 numeradores y el denominador es el mismo de las fracciones que sumábamos

-          De manera simultánea a la representación de materiales o gráfica y la verbalización, haremos la representación simbólica de la adición.

o   Es necesario insistir en más ejemplos asociados a la resolución de problemas para identificar claramente el significado de suma de fracciones con el mismo denominador y evitar, en trabajos posteriores, encontrarnos con 5/16

·         Fracción propia más fracción propia con una fracción impropia como resultado.

o   Ejemplo: un niño se come 3 porciones y otro 6 de 2 pastillas de chocolate divididas en 8 porciones iguales. ¿Qué parte de la pastilla se han comido entre los 2?

-          Se necesita hacer la suma entre 3/8 y 6/8.

-          En la situación real no hay ningún problema en ver que se han comido 9 porciones de 8, que se presenta como 9/8, ya que antes ya se han trabajado las fracciones impropias. Simplemente se ha sumado las partes que han comido cada uno y se han representado respecto a la unidad.

-          En la representación gráfica se ha de tener cuidado de representar siempre la unidad y sobre esta las partes de cada niño. Se les pide que representen el resultado y está claro que la dificultad es que no hay suficiente con una única unidad.

-          .está claro que comen 9 partes de 8, es decir 9/8= 1 * 1/8 si utilizamos números mixtos.

-          Igual que en el caso anterior, el numerador de la fracción resultante es la suma de numeradores y el denominador es el mismo que las fracciones iniciales.

-          De manera simultánea a la representación material o gráfica y verbalización, se ha de realizar la representación simbólica.

o   Es necesario insistir en más ejemplos asociados a la resolución de problemas para identificar claramente el significado de suma de fracciones con el mismo denominador que dan fracciones impropias y evitar, en trabajos  posteriores, encontrarnos con 9/16.

o   Regla general: la suma de 2 fracciones con el mismo denominador es una fracción que tiene el mismo denominador y el numerador es la suma de los numeradores anteriores.

·         Sustracción de fracciones: se trabaja en 6º. Como en primaria no se trabajan, son todas positivas, por tanto la sustracción de fracciones que se plantee tendrá un minuendo mayor o igual que el sustraendo.

o   En la primera fase buscaremos situaciones cotidianas que conecten con el trabajo que queremos realizar.

o   Ejemplo: un niño coge 6 porciones de una pastilla de chocolate que está dividida en 8. Si come 4 porciones ¿Qué parte de la pastilla le queda?

-          Se busca la diferencia entre 6/8 y 4/8

-          En la situación real no hay ningún problema en ver que le quedan 2 de 8, es decir 2/8. Se han restado las partes que coge y las que se come y expresarlo luego respecto de la unidad.

-          Representación gráfica. Es fácil ver que le quedan 2 de 8 partes de la unidad, es decir, 2/8.

-          Tanto en la situación real como en la representación gráfica se comprueba que el numerador de la fracción es la diferencia entre numeradores y el denominador es el mismo.

-          De manera simultánea a la representación manual o gráfica y su verbalización, hemos de representarlo simbólicamente

o   Es necesario insistir en más ejemplos asociados a la resolución de problemas para identificar claramente el significado de resta de fracciones con el mismo denominador y evitar, en trabajos posteriores, encontrarnos con 2/0.

o   Regla general, tanto en fracciones propias como impropias, el procedimiento es semejante a la adición y tenemos: la diferencia entre 2 fracciones con el mismo denominador es otra fracción que tiene como numerador la diferencia de los numeradores anteriores y como denominador el mismo que las fracciones iniciales.

1.1.8.      Sumar y restar números decimales.

·         En el 3º ciclo de primaria, y de manera progresiva, se trabajara la adición y sustracción de números decimales. En un principio, estas 2 operaciones no tienen ninguna dificultad, pues se parecen mucho de la adición y sustracción de números naturales.

·         Usaremos situaciones reales que podrán estar relacionadas con la media y el sistema monetario.

·          Distinguiremos los siguientes casos.

o   Sumandos con la misma cantidad de cifras decimales. Sumar sin llevar.

-          Ejemplo: para preparar una fiesta en clase. Hemos gastado 35,24€ en una tienda y 9,32 en otra. ¿Cuánto dinero hemos gastado en total?

§  Hemos de realizar una adición de números decimales.

§  Se ha de tener cuidado en situar en columnas los 2 números decimales, de manera que se haga coincidir la coma. Esta cuestión es sencilla si recordamos la posición donde se situaban los números naturales para sumar.

§  Una vez dispuestos de esta forma, se suma siguiendo los pasos que usábamos en N, situando la coma en un lugar correspondiente.

o   Sumar con la misma cantidad de cifras decimales. Sumar llevando en estas cifras de forma progresiva.

-          Ejemplo: para preparar una fiesta en clase hemos gastado 35,24€ en una tienda y 9,29€ en otra. ¿Cuánto dinero hemos gastado en total?

§  Pueden surgir dificultades para comprender la operación

§  Necesitamos sacar materiales como ábaco. Bloques multibase… y representar con estos materiales y comprobar que, de la misma manera que ocurre N, si juntamos 10 unidades de un orden se forma una unidad inmediata de valor superior, así 11 décimas  genera 1 unidad natural, que llevamos y una décima que la dejamos en su sitio.

§  De manera análoga, trabajaremos adiciones llevando en otros ordenes de unidades en las cifras decimales.

o   Sumas con diferentes cantidades de cifras decimales.

-          Ejemplo: necesitamos cortar una cuerda para cubrir dos partes del patio del colegio. Si un lado mide 35,24 m y otro 9,9m, ¿Cuánta cuerda necesitamos?

§  La automatización vendrá cuando tengan claro que han de hacer coincidir la coma en columna y escribir a la derecha, a partir de esta, las cifras decimales y a la izquierda la parte entera.

§  Sumaremos por columnas comenzando por la derecha

§  Si hay problema podrán llegar con ceros los vacíos de las cifras decimales y a la izquierda la parte entera.

·         En todos los casos, es necesario insistir en más ejemplos asociados a la resolución de situaciones problemáticas para identificar claramente en que significa sumar números decimales y conseguir la automatización.

·         Respecto al sustracción repetiremos los pasos anteriores:

o   Restaremos términos con la misma cantidad de cifras decimales sin llevar.

o   Restaremos términos con la misma cantidad de cifras decimales llevando de manera progresiva en las cifras decimales.

o   Restaremos términos con diferentes cantidades de cifras decimales

o   En todos los casos, la referencia es la sustracción en N y cuando llevan usaran el algoritmo estándar.

·         En 6º de primaria, resolverán estas 2 operaciones sin usar ceros en los vacíos de cifras decimales.

·         Hay que comprobar con ejemplos que la adición cumple las propiedades conmutativa y asociativa.

1.1.9.      Comprender que se obtiene el mismo resultado sumando o restando cantidades expresadas en forma de fracción decimal que expresadas de forma de números decimales

·         En 3º ciclo, han de utilizar lo que han aprendido en relación a obtener fracciones decimales, y si hace falta rectificar, las operaciones realizadas con números decimales.

·         Ej.: 53,37+ 22,51, podemos hacerlo sumando los números decimales o convertirlos en fracciones.

·         Si la relación de equivalencia entre fracciones no la han trabajado, harán la comprobación, siempre que las fracciones tengan el mismo denominador, es decir, que los números decimales tengan la misma cantidad de cifras decimales.

·         Una vez trabajamos las fracciones denominadas irreducibles y restas y sumas de fracciones con distintos denominadores, podemos volver a este punto y hacer comprobaciones para sumandos con cualquier cantidad de cifras decimales.

·         Se hace lo mismo con la sustracción.