Números enteros.

1.   Números enteros.

1.1.                Introducción.

1.1.1.      Historia.

·         Las matemáticas surgen para realizar cálculos en el comercio, para medir la Tierra y predecir acontecimientos astronómicos

·         Los números negativos:

o   Se conocían desde el S XVI y XVII por los árabes, pero no se aceptaban.

o   Facilitan aspectos financieros como ganancias, pérdidas y resolución de ecuaciones.

o   Se empiezan a utilizar en el S XIX y XX, aunque al principio se conocían como “números del demonio”, con el renacimiento se les empezó a llamar  números  negativos, pero aún no estaba formalizada la teoría de conjuntos de Georg Cantor ni la de los conjuntos de números enteros.

1.1.2.      Concepto.

·         Definición: comprende los números naturales no nulos, sus correspondientes negativos y el 0. Z se descompone en Z+ , Z-  y  {0}, Z = Z- U {0} U Z+

·         Representación: Z de “Zahl” (numero en alemán).

·         Los números enteros engloban a los naturales y son un subconjunto de los racionales.

1.1.3.      Formalización del concepto de números enteros.

·         Partimos solo de los números naturales, derivamos sus propiedades y construimos un conjunto donde estén incluidos.

·         Recordamos el producto cartesiano de 2 conjuntos: AXB= { (a,b) tal que  a € A y b € B}

o   Podemos obtener una malla de puntos graduada que empiece en el (0,0) si consideramos N (conjunto de números naturales) X N (conjunto de números naturales.).

o   Si se cogen 2 puntos de la misma diagonal (a, b) y (c, d) se puede comprobar que a+d = b+c.

-          Ejemplo: (2,1) y (6,5) à(2+5) = (1+6), de tal forma que se establece la siguiente relación binaria de equivalencia ( R )

" (A, b) (cd) € NXN: (a, b) R (c, d) ßà a +b = b + c.

-          La equivalencia (R): es reflexiva, simétrica y transitiva.

-          Las clases de equivalencia que se derivan forman una partición del conjunto NxN (formalmente es un conjunto cociente NxN/ R = {[(x, y)] tal que (x, y) € NxN}). Cualquier punto siempre pertenece a una de las clases y no hay ningún elemento que pertenezca a 2 clases de equivalencia a la vez.

-          Una clase genérica que se llama numero entero seria [(x, y)] = {(a, b) € NxN tal que tal que (x, y) R (a, b)}   entonces Z = NxN/ R.

·         Aún tiene la forma habitual (…, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, …), para pasar de números entre paréntesis a un único numero con un signo ( positivo o negativo) o sin signo en el caso del cero, necesitamos el siguiente calculo: " (a, b) € N€ N, el numero entero m que corresponde a la clase de equivalencia de (a, b) es:

m = 0    si a=b	m = + (a-b)     si a > b	m = -(b-a)    si b > a
0-0= 0	+ (1-0)= +1	-(1-0)= -1
1-1=0	+(2-1)=+1	-(2-1)= -1
2-2= 0	+(3-2)=+1	-(3-2)= -1
…	…	…

o   Representante canónico de clase: cualquier número entero con un cero en alguno de sus componentes.

1.1.4.      Operación con números enteros.

·         La Adición.

o   Definiremos la aplicación:                                           y finalmente su aplicación

o   Se define de forma muy intuitiva y genérica, pero no concreta todas las posibles combinaciones de signos que podemos encontrar.

-          Primero

-          Segundo

-          Sumaremos componente a componente y obtenemos

o   La adición cumple las siguientes características:

-          Asociativa

-          Conmutativa

-          Elemento neutro [(0,0)]

-          Elemento simétrico [(a, b)] es [(b, a)] pues (a+b, b+a) es el elemento de la clase (0,0). El elemento simétrico se llama opuesto. El opuesto de +a  es –a y viceversa. El elemento neutro de [(0,0)] es el simétrico de sí mismo.

o   La adición es un grupo abeliano (Z+)

·         La sustracción.

o   Restar un numero entero es lo mismo que sumar su opuesto: la sustracción de 2 números enteros Z y K como el numero entero  P= Z-K, tal que P+K= Z. A nivel  práctico Z-K=Z + (-K)

-          Hay que tener en cuenta que – (-Z)= Z; -(Z+K)= -Z-K; -(z-k) = k-z.

·         La Multiplicación.

o   Primera aplicación que consideramos:                                                         define la multiplicación como intuitivamente conocemos de manera muy genérica, pero no concreta todas las posibles combinaciones de signo que no podemos encontrar.

o   Segunda aplicación es la definición formal

-          Ejemplo:

-          Se tendrá que recordar la regla se signos.

 Esta regla se cumple en todos los casos, por ejemplo:

o   Características:

-          Propiedad asociativa

-          Propiedad conmutativa

-          Elemento neutro. +1=[(1,0)]

-          (Z, .) es un semigrupo abeliano y unitario

-          Como además se cumple la propiedad distributiva respecto la adición ( Z, +, .) es anillo conmutativo y unitario.

1.1.5.      Inmersión de los naturales en los enteros.

·         Hay que formalizar que el conjunto de números naturales es un subconjunto de los números enteros

·         Definición

o   Cada natural es un entero no negativo. Cumple las siguientes propiedades.

-          f es inyectiva ( las imágenes de 2 elementos originales diferentes son diferentes)

-           

-           

-          f (0)=[(0,0)] elemento neutro en la adición

-          f (1) = [(1,0)] elemento neutro en la multiplicación.

-          La implicación es inyectiva y conserva las operaciones de los números naturales, se puede definir cada número natural con su imagen y considerar que los naturales son una parte de los enteros.

1.1.6.      Orden en Z

·         Es una relación de orden total … -3£ -2£ -1£ 0 £ 1£…

·         Es compatible con la adición y la multiplicación

o    

o    

o    

·         Si expresamos esta relación con números enteros cualquier Z1 y Z2 y no con pares de números naturales, tenemos que Z1 £ Z2  si y solo si Z1- Z2  £ 0

1.2.                Números enteros en el aula de primaria.

1.2.1.      Situaciones donde pueden aparecer.

·         En termómetros, ascensores, cuentas bancarias, aviones y submarinos, líneas temporales…

o   Son conocidas, pueden aparecer en cualquier momento dentro del aula de 1º y 2º ciclo de primaria, se ha de hacer referencia al signo para indicar el problema que se resuelve.

o   No se trabajaran los números enteros en el aula como conjunto numérico hasta 3º ciclo de primaria por la imposibilidad de hacer restas con números naturales cuando el sustraendo es más grande que el minuendo. Necesitamos ampliar el horizonte numérico.

1.2.2.      Se introducen los números enteros en el aula de primaria.

·         Se introducen a partir de situaciones reales.

·         Para diferenciar los números positivos y negativos utilizaremos los signos (+) y (-)

·         Método de la escalera: para que comprendan mejor el funcionamiento y significado de los signos. Además nos permite ordenar los números.

1.2.3.      Operaciones con números enteros en el aula de Primaria.

·         Utilizaremos el método de la escalera.

o   Adición: subir o bajar depende del signo (+) o (-)

o   Sustracción: es la operación contraria de la adición, por tanto los enunciados se aran así: “si estamos en el 3º piso y nos piden lo contrario de bajar un piso, ¿A que piso llegamos?”

-          Restar un número entero es sumar su opuesto.

o   Multiplicación: con enunciados como este “un ascensor está en la planta baja. Si baja 4 pisos por minuto, ¿En qué piso se encontraba hace 2 minutos?”

o   Operaciones combinadas. “un ascensor se encuentra en el 3º subterráneo. Si sube 4 pisos por minuto, ¿En qué piso se encontrara cuando hayan pasado 2 minutos?”

·         Se puede usar la resta numérica en mede de la escalera.

1.2.4.      Dificultades más frecuentes con números enteros.

·         Conceptos de la vida real que hacen difícil la introducción del número entero en lo cotidiano.

o   El número no expresa una cantidad existente. EJ: “ tengo 50€ y debo 50€”

·         Considerar la adición y la multiplicación como operación que aumenta cantidad

·         Considerar la sustracción como operación que disminuye la cantidad.

·         Dificultad en el orden  en el conjunto de números enteros y entre números naturales y enteros negativos.

Hay autores que consideran que el conocimiento del número entero exige romper con los conceptos de la vida cotidiana sobre los números y darse cuenta de todo lo anteriormente citado