Números racionales.

1.    Números racionales.

1.1.                Introducción.

1.1.1.      Historia.

·         Egipcios: sistema de numeración jeroglífica con combinaciones. Desarrollan las fracciones pero solo tenían 1 en el numerador 1/n, el resto eran combinaciones

·         Mesopotamia: sistema de numeración posicional sexagesimal. Desarrollaron un sistema de notación fraccionaria con aproximación decimal sorprendente.

·         China: con un sistema de numeración decimal jeroglífica, establecen que para la adición de fracciones es indispensable la previa reducción a común denominador.

·         Griega (helénica): creadora de las matemáticas, descubren de manera taxativa los números irracionales demostrando por ejemplo la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por reducción al absurdo. Elaboraron la teoría de divisibilidad, preludio de los números racionales.

·         Árabes: S VIII, empezaron el proceso de traducción de las obras griegas. Estudiaron el álgebra.

·         Finales del S: XIX y XX: se formaliza la teoría de conjuntos (Georg Cantor) y el conjunto de números racionales.

1.1.2.      Introducción.

·         Aparecen los números naturales: por insuficiencia de los números enteros para representar situaciones de la vida diaria

·         Objetivo educativo: identificar situaciones reales en las que necesitaremos números racionales y la dificultad del manejo de estas, la necesidad de formalizar este conjunto y como y cuando se trabajan en el aula de primaria.

·         Objetivo matemático: describir la realidad y expresarla

·         Lenguaje matemático: practico, exacto, global. Las situaciones semejantes están representadas bajo un único modelo, cuando aparezcan situaciones con diferencias notables, tendrán que ser completadas y el modelo cambiara.

·         Dentro de los racionales están los fraccionarios y parte de las expresiones numéricas decimales, aunque fraccionario y decimal son iguales, durante mucho tiempo se los consideraba distintos por operarse de forma distinta.

·         Para los niños dentro de Primaria los irracionales pueden verlos distintos por sus distintas procedencias. Ejemplos de procedencias y usos:

o   Altura, peso, edad à se dice en número, en palabra.

o   Capacidades à ¾ de litro o 75l

o   Las expresiones: la mitad de…

o   El euro: 20 céntimos o 0,20 euros.

o   Periódicos, telediarios… se ven fracciones, porcentajes, decimales etc.

Tenemos que coger y utilizar esta información para ver diferencias y conexiones entre el mundo decimal y fraccionario.

1.1.3.      Formación de los números racionales.

·         Números racionales: aquellos formados por una razón o fracción de 2 números enteros. No se habla de decimal ya que el resultado de operar la fracción puede ser:

o   Una expresión decimal exacta: el residuo en algún momento es 0.

-          Ejemplo:  6/3 = 2                 3/5= 0,6

o   Expresión decimal finita

-          Periódica pura.

-          Periódica mixta: el periodo no aparece justo después de la coma, hay cifras antes del periodo ( cifras anteperíodo)

·         Conclusión: la expresión decimal y la fracción son distintas manifestaciones de lo mismo.

o   Las fracciones representan las expresiones decimales y por tanto son representantes de números racionales.

·         Como pasar de una forma a otra:

o   De fracción a expresión decimal: dividiendo

o   De  expresión decimal a fracción: hemos de obtener la fracción generatriz (fracción que genera la expresión  decimal). Distinguiremos los casos de decimal exacto, periódico puro o mixto.

·         Necesidad de estos números

o   Cuando necesitamos representar partes de la unidad y las medidas de estas. Distinguiremos como es la unidad ( aquello que queremos partir)

-          Unidad continua: podemos hacer todas las partes que queramos (tarta). Un caso particular, la representación de las fracciones o números en la recta numérica.

-          Unidad discreta: solo se pueden hacer algunas partes. Ejemplo: huevos enteros ( una docena de huevos)

o   Para representar el cociente de una división

o   Para representar razones numéricas

-          Proporcionalidad

-          Probabilidad

-          Porcentajes.

o   Para representar el resultado de operar una fracción sobre un numero

En todas estas situaciones utilizaremos expresiones fraccionarias o decimales, en función de la idoneidad, familiaridad o comodidad. Será necesario dominar la operatividad con estas expresiones.

1.1.4.      Formación del conjunto de números racionales.

·         Utilizando la construcción de Georg Cantor a principios del S XX hemos de llegar a:

·         Si consideramos                 , tomamos el producto  cartesiano   

                                                                                                 Darán  las fracciones, al eliminar el 0 en el segundo conjunto NO tendremos el 0 en el denominador.

·         Establecemos la siguiente relación binaria de equivalencia R:

·         La clase de equivalencia será:

·         El conjunto cociente dará al conjunto de números racionales

·         Cada par                               se puede representar como a/b, que se llama fracción. El conjunto de números racionales está formado por las clases de equivalencia definidas por las fracciones

·         Representación gráfica de estas clases de equivalencia o conjuntos de fracciones equivalentes.

o   Observamos una familia de fracciones equivalentes

o   Representamos las fracciones por sus partes equivalentes:

o   Estas clases de equivalencia están formadas por puntos que están alienados y que se encuentran en una recta que pasa por el (0,0).

·         Estas rectas tienen como expresión general                , donde (a, b) representa la fracción a/b. otra forma de representar la recta:                                   . Estas rectas se llaman proporcionalidad directa.

·         La única condición que se impone es que el denominador no sea 0. Analicemos que ocurre si el denominador es 0 (importante):

o   3/0 = x à 3=0x ¿Qué valor multiplicado por 0 daría 3? Ninguno, por tanto 3/0 no representa ningún racional.

o   0/0=x à= 0x ¿Qué valor multiplicado por 0 daría 0? Todos. Por eso (0,0) pertenece a todas las rectas sobre las que se sitúan las fracciones equivalentes, no pertenece a ninguna clase. Si no fuera así, el (0,0) pertenecería a todas las clases y la definición de clase dice que solo puede pertenecer a 1.

·         Como explicar en el aula de Primaria que NO hay fracciones con el denominador 0.

o   Si entenderemos el denominador de la fracción como las partes en las que dividimos la unidad y el numerador como las partes que cogemos, no podemos construir ninguna fracción si no dividimos la unidad.

-          60/0 = si traigo 60 caramelos pero no habéis venido, no puedo repartirlos.

-          0/0 = si no traigo caramelos y no venís, no puedo repartirlos, porque no tiene sentido.

1.1.5.      Consecuencias inmediatas de la definición de números racional

·         a/b es equivalente a

·         En algunas ocasiones, se representara un número racional por cualquier fracción equivalente a cada una de ellas que tengan el mismo denominador. Para ello, usaremos el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones, modificaremos los numeradores para conseguir las fracciones equivalentes.

·         En cualquier clase de fracciones equivalentes, podemos encontrar una cuyos términos serán primos entre sí. Esta fracción se llama irreducible. La forma más fácil es calcular el máximo común divisor de ambos términos y dividirlos por él.

·          

1.1.6.      Operaciones con números racionales ( importantes las formulas):

·         Adición.

o   (X) : QxQ à Q

o                                                   Que, independientemente de los representantes escogidos, cumplen:

-          Asociativa:     puedes cambiar el orden de los paréntesis.                                  

-          Conmutativa: puedes cambiar el orden de los factores

-          Elemento neutro:

-          Elemento simétrico: de                                             es un elemento de la clase de 0/b. El elemento simétrico por adición de cualquier racional se le llama opuesto ( Q+) tiene estructura de grupo abeliano.

·         Multiplicación.

o    

o                                                 Que independientemente de los representantes elegidos cumple:

-          Propiedad asociativa; cuando puedes cambiar el orden de los paréntesis

-          Propiedad conmutativa: puedes cambiar el orden de los factores

-          Elemento neutro:

-          Elemento simétrico de                                                                                              El elemento simétrico se le llama inverso. Las fracciones a/b y b/a son simétricos.

o           Tiene estructura de semigrupo abeliano con elemento neutro (no es abeliano porque [0/b] no tiene simétrico, abeliano es cuando cumple que 2x3= 3x2 etc.)

o                           Tiene estructura de grupo abeliano.

o                            Tiene un cuerpo conmutativo.

1.1.7.      Signo en Q.

·         El signo en la fracción a/b será:

o   Positivo si

o   Negativo si

·         Los números racionales no nulos se dividen en 2 subconjuntos  

o    

o    

1.1.8.      Inmersión de los números enteros en los racionales.

·         Definición.

o    

o                                               Consideramos cada entero como racional representado por la fracción que tiene el entero como numerador y la unidad como denominador. Cumple:

-          f  es inyectiva ( las imágenes de 2 elementos originales diferentes son diferentes)

-           

-           

-                                         Elemento neutro en la adición.

-                                         Elemento neutro de la multiplicación.

·         La aplicación es inyectiva y conserva las operaciones de los números enteros, se puede definir cada número entero con su imagen y considerar que los enteros son una parte de los racionales.

1.1.9.      Orden en Q.

·         Los números racionales son un conjunto completamente ordenado, no hay duda a la hora de saber si racional es mayor o menor que otro.

·         Esta relación es:

o   Reflexiva à X se relaciona con X, es decir, consigo mismo

o   Antisimétricaà m se relaciona con n y n se relaciona con m à m=n

o   Transitiva à a se relaciona con b y b se relaciona con C à a se relaciona con c

o   Conexaà se relaciona X con Y o se relacionan Y con X

·         La relación es el orden total, por tanto, los números racionales están completamente ordenadas.

·         Es compatible con la adición y la multiplicación:

o    

o    

o    

·         Si expresamos esta relación con números racionales cualquiera            y no con pares de números  enteros/fracciones, tenemos que                sí y solo si                  

·         A nivel operativo, ordenaremos fracciones, de acuerdo con:

o   Fracciones con mismo denominador: ordenar atendiendo a los numeradores que son números enteros

o   Fracciones con distinto denominador: ordenar transformándolos en fracciones equivalentes, mismo denominador, y aplicaremos el caso anterior.

o                              Es un cuerpo conmutativo absolutamente ordenado ( importante)