Capacidades Primária. Números naturales y racionales.

1.1.         Multiplicar y dividir números decimales por naturales.

·         A partir de 5. º curso de primaria, se empieza a multiplicar y dividir números decimales por naturales.

o   Multiplicación.

§  Partiremos de una situación real, por ejemplo: «Si para hacer un juego debemos dar 1,25 m de cinta a cada niño y tenemos la clase organizada en grupos de 3 niños y niñas, ¿cuántos metros de cinta necesitamos compra para cada grupo?».

§  Deben relacionar esta situación con los conocimientos que tienen sobre la multiplicación de naturales para llegar a plantear como solución del problema la siguiente operación:

§  A partir de esta y con lo que saben intentarán resolverla. Debe estar claro: se multiplica igual que si los dos factores fueran números naturales y una vez multiplicamos por las décimas lo anotamos en el resultado, situando la coma en el lugar correspondiente del producto.

§  Se comprueba con más situaciones de este tipo y pasamos luego a la multiplicación de un número decimal (en un primer momento solo de una cifra decimal) por un número natural de dos cifras, por ejemplo: «El alumnado de nuestra clase está agrupado en 13 parejas para organizar una fiesta en el colegio. Si cada pareja puede llevar 2,5 l de zumo de naranja, ¿cuántos litros tendremos en total?».

¨      Trabajaremos con el algoritmo de lápiz y  papel explorando posibilidades:

Ø  Inicialmente y por la semejanza que hay con los números naturales, parece lógico que se multiplique por 3 y, por lo que sabemos de la multiplicación anterior, obtendremos el resultado de forma sencilla:

Ø  Para dar el siguiente paso hay que recordar que no multiplicamos por 1, en realidad lo estamos haciendo por 10. Es decir, no multiplicaremos 1 por 5 décimas, sino 10 por 5 décimas y 10 por 2 unidades. Como ya saben que 10 décimas hacen una unidad y que 10 unidades hacen una decena, obtendrán 5 unidades y 2 décimas como resultado parcial. Entonces, como después han de sumar, al igual que en la multiplicación de números naturales, hay que poner este resultado en su sitio y, por ello, lo desplazan hacia la izquierda para alinear los órdenes de unidades correspondientes de los productos parciales:

§  Se resuelven más situaciones de este tipo y se aumenta la dificultad de las operaciones con más cifras decimales en el multiplicando, por ejemplo, «Si cada una de las 13 parejas aporta 3,76 € para comprar lo que hace falta para la fiesta, ¿cuántos euros tenemos en total?». En este caso, la multiplicación será:

¨      Es importante recordar el funcionamiento del sistema de numeración para los números decimales, para tener claro que el resultado de multiplicar el 1 de las decenas por 6 centésimas dará 6 décimas como resultado y que tendremos que escribirlas en el lugar adecuado. Análogamente, pasará con el 7 de las décimas y el 3 de las unidades.

¨      Hay que notar que no desaparecen las comas de los productos parciales del algoritmo y es bueno que no desaparezcan hasta que no esté automatizada la operación (cuando se den cuenta de que la cantidad de cifras decimales del  producto coincide con el número de cifras decimales del multiplicando)

§  Aumentamos la dificultad considerando números decimales y naturales con más cifras hasta que esté aprendida y automatizada la operación y se utilice de manera automática la regla general descrita

o   División.

§  Se trabajará cuando el divisor sea un número natural. Por ejemplo, «Debemos repartir, en partes iguales, una cuerda de 42,56 m entre 5 grupos de niños, ¿cuántos metros le corresponden a cada grupo?». La división que resuelve este problema sigue un procedimiento similar a la que se hace con números naturales, por ejemplo:

§  Cuando se llega a la coma del dividendo(se baja la cifra de las décimas) indica que ya se ha terminado de dividir la parte entera y también ha finalizado la parte entera del cociente y, por ello, debemos poner la coma en el lugar correspondiente y continuar la división:

§  Cuando dividimos con decimales, no se detiene el proceso hasta que llegamos a obtener de residuo cero, o hasta que la persona que opere lo desee. Por lo tanto, no vamos a esperar a poner la coma al cociente al final del algoritmo, porque no sabremos exactamente el lugar de colocación ya que el cociente puede tener más cifras decimales que el dividendo:

§  Aumentamos la dificultad de las divisiones considerando números decimales y naturales con más cifras hasta que esté aprendida completamente esta operación y se utilice de manera automática la regla general de anotar la coma en el cociente cuando se opera la cifra de las décimas del dividendo.

1.2.         Reconocer la equivalencia de fracciones en situaciones reales y analíticamente. Obtener la fracción irreducible de una familia de fracciones equivalentes.

·         La idea de equivalencia es un concepto amplio, general y fundamental en ciencia y en la vida diaria. Cuando algo equivale a otra cosa, tiene el mismo valor para alguna característica, aunque no se manifieste igual para las otras.

·         Se trabajará el concepto de equivalencia aplicada a las fracciones a partir de 4º de primaria y de manera manipulativa. Por ejemplo «se reparten cartulinas iguales con  fraccionamientos para que los niños y niñas recorten la parte sombreada con motivo de hacer un mural. Se hacen las siguientes preguntas: ¿Qué parte de cartulina ha utilizado cada grupo? ¿Cuál de los tres grupos ha utilizado más cartulina?».

o   Para responder a la primera pregunta han de expresar numéricamente las fracciones 1/3, 2/6, 4/12 y al comparar los trozos de cartulina que ha utilizado cada grupo, se dan cuenta de que son iguales y, por tanto, los tres grupos han utilizado la misma cantidad de cartulina.

o   Reflexionaran que hay expresiones faccionarias distintas para indicar la misma porción de la unidad, así que:

o   Se continúa trabajando el concepto de equivalencia con esta u otras situaciones (en contextos discretos y continuos) que generan conjuntos de fracciones que representan la misma cantidad.

o   Después se introduce el nombre de la relación que existe entre estas fracciones, denominándolas fracciones equivalentes.

o   Se les plantean las siguientes preguntas: « ¿Siempre será necesario disponer de un material con el que se puedan construir fracciones equivalentes o comprobar si lo son fracciones dadas? ¿Podemos encontrar ningún tipo de relación numérica entre los términos de las fracciones equivalentes?».

o   Se puede encontrar una fracción equivalente a otra  multiplicando los 2 términos de esta por un mismo número (multiplicando por una fracción unidad), lo que se llama amplificar fracciones o  simplificarlas (dividiéndolas). Les ayudaremos a deducir esto a partir de la comparación entre los numeradores y los denominadores de las diferentes fracciones de cada familia de fracciones.

§  se utilizan para encontrar fracciones equivalentes a una dada.

§  Cuando en el proceso de simplificación de una fracción podemos obtener la fracción irreductible de la familia de las fracciones equivalentes a la primera. Una manera rápida de encontrar esta fracción se trabajará junto con la divisibilidad de números naturales, con el fin de que el alumnado descubra que dividiendo los dos términos de la fracción inicial por el máximo común divisor de estos se obtiene dicha fracción irreductible. En el ejemplo que se está trabajando, esta es 1/3

§  Para comprobar si dos fracciones son equivalentes hay distintos procedimientos:

¨      Buscar un número tal que al multiplicar o dividir por él los dos términos de una  fracción dé como resultado respectivamente, los términos de la otra.

¨      Convertir las fracciones en otras equivalentes a ellas con el mismo denominador y compararlas, comprobando si son o no iguales.

¨      Hallar la fracción irreducible de cada una de ellas. Cuando estas irreducibles coincidan, las fracciones de las que provienen serán equivalentes. En caso de llegar a fracciones irreductibles que no sean iguales, las fracciones iniciales no serán equivalentes.

o   Se relaciona el concepto y el cálculo intuitivo de fracciones equivalentes con la definición formal de la relación de equivalencia que permite construir el conjunto de los números racionales. De acuerdo con esta relación, dos fracciones a/b  y c/d son equivalentes si y solo si a*d = c*b. Se puede comprobar este hecho, como complemento de lo trabajado referente a las fracciones equivalentes.

·         La importancia de esta capacidad radica en la necesidad de encontrar fracciones con el mismo denominador equivalentes a otras dadas, para ordenar y sumar o restar las fracciones originales. Sin embargo, usaremos la simplificación de fracciones para expresar los resultados de situaciones problemáticas de la manera más sencilla posible.

·         Cuando las expresiones decimales coincidan, las fracciones serán equivalentes.

1.3.         Sumar y restar fracciones con distinto denominador. Multiplicar y dividir fracciones

·         Se trabajan en 6. º de primaria, cuando ya dominan el concepto de fracción, de la equivalencia de fracciones y de la adición y sustracción de fracciones con el mismo denominador.

·         Adición.

o   Partiendo de una situación real, por ejemplo: «El alumnado de un aula está organizado en 2 grupos que disponen de cartulinas iguales para hacer un mural. Uno de los grupos parte la cartulina en tres partes iguales y utiliza una de estas, otro grupo necesita partirla en cuatro partes iguales, de las cuales utilizará tres. Necesitan saber qué parte de cartulina les ha sobrado conjuntamente a los dos grupos para poder utilizarla en otra parte de mural»

§  Expresan las fracciones que representan lo que les ha sobrado en cada grupo: 2/3 y 1/4, e identifican la adición como la operación  que resuelve su duda. Por tanto, hay que sumar estas dos fracciones: 2/3+1/4.

§  No saben hacer la operación porque el denominador de las  fracciones sumandos no coinciden, así que les sugerimos que utilicen los trozos de cartulina.

¨      Unen los trozos de cartulina y los comparan con una cartulina entera (cartulina unidad).

¨      Pero no saben expresarlo numéricamente porque no saben en cuántas partes deberían dividir esta unidad para poder hacerlo.

¨      Después de comentar entre ellos la situación en la que se encuentran, piensan que es necesario disponer de una unidad fraccionada. Marcan las divisiones sobre una cartulina para fraccionarla en tercios, o en cuartos (al ser los denominadores de las fracciones a sumar). Los trozos de cartulina que les habían sobrado los superponen unidos sobre las cartulinas marcadas, sin poder expresar el resultado, en cualquiera de los dos  casos, por no coincidir con ninguna división marcada.

¨      Continúan pensando en diferentes maneras de fraccionar la cartulina unidad, por ejemplo sextas partes, octavas partes, ..., hasta que llegan a la división en 12 partes iguales, que es la que les permite expresar numéricamente el resultado por haber encontrado una marca( la que hace 11) en la unidad que coincide con uno de los extremos de los dos trozos unidos. El resultado es 11/12, por tanto el resultado ya lo saben:

o   Se ha de preguntar si el procedimiento para sumar fracciones con diferente denominador siempre debe hacerse manipulativamente o podemos buscar un algoritmo que nos proporcione la solución numérica.

§  A la busca este algoritmo y a partir de la superposición de los trozos sobre la cartulina dividida en 12 partes: observan que las fracciones originales 2/3  y ¼ pueden expresarse como 8/12 y 3/12, y descubren la relación de equivalencia que existe entre ellas, porque expresan, respectivamente, la misma porción de cartulina.

§  Entonces hay que descubrir la relación numérica entre las fracciones originales y equivalentes, y encuentran que:

§  Como han conseguido fracciones con el mismo denominador y estas sí que saben sumarlas, llegan numéricamente al resultado que ya conocían.

o   Es necesario insistir con más ejemplos asociados a la resolución de situaciones problemáticas para identificar claramente lo que significa sumar fracciones con diferente denominador y llegar a la conclusión de que el algoritmo que les permite sumar las fracciones originales consiste en convertirlas en otras equivalentes a éstas con el mismo denominador para poder aplicar la adición de fracciones que ya conocen. Únicamente quedará cómo encontrar estas fracciones equivalentes para que no sea una dificultad en cada ocasión.

§  En un primer momento, y con denominadores pequeños, el procedimiento para encontrar las fracciones equivalentes se resuelve  multiplicando los dos términos de cada fracción  por el denominador de la otra. Por ejemplo:

§  Cuando hay más de dos fracciones o los denominadores son muy grandes habrá que descubrir que el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores será el denominador de las nuevas fracciones equivalentes, por ser el menor valor que a la vez es múltiplo de todos los denominadores. Ej. anterior y utilizar el mcm (4, 6) = 12 como denominador común:

§  Observar que los términos de las fracciones son menores que los del procedimiento anterior. Como caso particular de este método, cuando uno de los denominadores es múltiplo del otro u otros, será éste el que se usará como denominador común. Por ejemplo, en el caso 2/3 y 1/6 será 6 el denominador común a las dos fracciones, así:

§  Habrá que comprobar con ejemplos numéricos que la adición de fracciones cumple las propiedades conmutativa y asociativa

o   Sustracción de fracciones con distinto denominador, se parte del trabajo previo de la adición y, por tanto, todo lo que se ha hecho en relación a los denominadores, se hereda de manera natural. Entonces, una vez tendremos las fracciones equivalentes con el mismo denominador.

·         Multiplicación.

o   1º se multiplica una fracción por un número natural. Partiendo de una situación real, por ejemplo: «En clase se dispone de varias cuerdas de igual longitud para atar unos paquetes. Necesitamos 3/5  de una cuerda para cada paquete. Si hemos de atar 4 paquetes, ¿cuánta cuerda utilizaremos?»

§  Se volverá a la base de lo que supone una multiplicación por números naturales, adición de sumandos iguales. Hay que retomar esta idea desde el principio, con el fin de utilizar el mismo mecanismo con las fracciones:

§  En este caso, la operación que deben realizar es  3/ 5 por 4 y, a partir de la idea de  multiplicación como una adición repetida, hacen la siguiente operación:

§  Como saben sumar fracciones con igual denominador, llegamos al resultado (para ligar los 4 paquetes, se necesitan 12/5 de cuerda) y enlazando el primero y los últimos términos de  la cadena de igualdades se obtiene:

§  La regla parece que puede estar clara rápidamente (si fuera necesario se comprobaría con más ejemplos), para multiplicar una fracción por un número natural, hay que multiplicar el numerador de la fracción por este número y dejar el mismo denominador.

o   Cuando se trate de multiplicar dos fracciones, partiremos también de una situación real: «Para hacer una merienda, hemos comprado en una pastelería ¾ de un bizcocho dividido en cuartos. Como las raciones son demasiado grandes dividimos el que hemos comprado en quintas partes. Al terminar la merienda, observamos que solo han comido 2/5 partes del bizcocho que teníamos. ¿Qué parte del bizcocho que teníamos. ¿Qué parte del bizcocho entero hemos gastado en la merienda?»

§  Para ayudar al alumnado a entender el procedimiento de la multiplicación de fracciones se utilizará la interpretación geométrica, a partir del área de un rectángulo cuyos lados tienen como longitud las dos fracciones que debemos multiplicar.

§  Como no conocen la operación que resuelve esta situación, nos ayudaremos de la representación gráfica de los datos. Así, al principio dibujaremos el bizcocho entero dividido en cuatro partes iguales, sombreando los ¾ que hemos comprado, las dividiremos en quintas partes y señalaremos los 2/5 de que nos hemos comido ¾.

§  Para contestar la pregunta habrá que expresar numéricamente las partes del bizcocho que se han comido en la merienda como partes del bizcocho entero. Para conseguirlo dividiremos en quintas partes la unidad que previamente habían dividida en cuartos y señalaremos en oscuro las partes que han comido.

§  El bizcocho comido en la merienda representa los 6/20 del bizcocho entero. Este valor es el área del rectángulo que tiene como longitudes de los lados 2/5 y 3/4, que, como saben, se calcula multiplicándolas:

§  Entonces ya se pueden igualar las dos expresiones:

§  El paso siguiente es darse cuenta de qué ha pasado numéricamente, que es donde se  quería llegar. Observando la igualdad anterior el alumnado descubre que la multiplicación de fracciones, en este caso, se puede resolver de la siguiente manera:

o   Es necesario insistir con más ejemplos asociados a la resolución de situaciones problemáticas para identificar claramente lo que significa multiplicar fracciones y llegar a la conclusión de que el producto de fracciones es otra fracción cuyo numerador y denominador se calculan multiplicando, respectivamente, los numeradores y denominadores de las fracciones iniciales.

o   El trabajo se completará estudiando la relación de la multiplicación de fracciones con expresiones que aparezca una fracción «de» cualquier otro número, interpretándola como una multiplicación de la fracción por el número correspondiente. En este caso la fracción está actuando como operador sobre el número, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

§  «Hemos recorrido los 2/5 de un camino que tiene 60 km. ¿Cuántos km hemos recorrido?» En este caso, 2/5 de 60 se deberá calcular averiguando cuánto es una quinta parte de 60, para posteriormente coger dos de estas. Más adelante se darán cuenta de que estos cálculos son los que corresponden a la operación.

§  «Un pueblo ha producido las 2/7 partes de todo el vino de la comarca que son 3000 l. A lo largo del año se venden, en este pueblo, las 3/5 partes de su producción. ¿Cuántos litros de vino se han vendido en el pueblo?». En este caso, aplicando lo que se ha trabajado en el ejemplo anterior, calcularán 2/7 de 3000, realizando la operación 2/7 x 3000. Posteriormente para calcular 3/5 de 2/7 x 3000 de aplicar de nuevo el mismo procedimiento, obteniendo.

o   Un caso particular de situaciones con expresiones en que aparezca una fracción «de» cualquier otro número, serán aquellas en las que se ha de calcular el porcentaje de una cantidad (simbolizado por % y representado por una fracción que tiene el porcentaje en el numerador y un 100 en el denominador). Por ejemplo: «En una prenda que vale 50 €, nos hacen un descuento del 15 %. ¿Cuánto nos descuentan?». En este caso «el 15% de 50» se traduce por « 15/100 de 50» y, por tanto, a partir de los casos anteriormente estudiados, el cálculo será:

o   Otro caso particular será relacionar las partes que se hacen de un total con el porcentaje que suponen esas partes del total. Por ejemplo: «Se han vendido los 3/5 delas entradas de un campo de fútbol. ¿Qué porcentaje de entradas se ha vendido?» En este caso se trata de encontrar una fracción equivalente a 3/5 que tenga como denominador 100, es decir 60/100 y expresarla como porcentaje: 60 %.

§  Hay que notar que el número decimal correspondiente a 3/5 es 0,6 y que también se puede calcular el porcentaje multiplicándolo por 100: 0,6 x 100=60, entonces el porcentaje es 60 %.

o   Comprobaremos con ejemplos que la multiplicación de fracciones cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, respecto de la adición.

·         División:

o   Saber previo: el alumnado debe conocer las fracciones inversas. A partir de una fracción dada, por ejemplo 5/7, la inversa de esta será la fracción 7/5, en la que se representa que hemos tomado 7 partes de una unidad dividida en 5

o   A partir de la observación de algunos ejemplos de fracciones inversas, deben ser conscientes de que la inversa de una fracción propia es impropia y viceversa y también que al multiplicar una fracción por su inversa, se obtiene como resultado una fracción unidad. En este caso:

o   Aunque sea complicado hay que buscar situaciones reales donde se presente, Por ejemplo: «En un juego que queremos organizar en el patio, que mide 3/10 de km de largo, hay que colocar un cono cada 2/45 de km. ¿Cuántos conos debemos poner si ya hemos colocado el primero al principio del patio?». Por el conocimiento que tienen de las operaciones con números naturales en situaciones parecidas a ésta, llegarían a decidir que deben calcular la división.

§  Deben recordar que resolver la división es encontrar el factor que le falta a una multiplicación de la que se conoce el otro factor y el resultado. La cuestión es buscar el cociente. Numéricamente la situación es esta:

§  No saben resolver una ecuación, pero podemos guiar el razonamiento. El alumnado sabe que si se multiplican dos fracciones inversas, se obtiene como resultado 1. Entonces, para aislar el cociente, se les pregunta cuál sería la fracción que multiplicada 2/45 por daría 1, encontrando como respuesta que la fracción sería 45/2:

§  Se ha transforma la división de fracciones que no se sabía calcular en una multiplicación que sí se sabe calcular:

§  Podemos finalmente concluir que se pondrán 6 conos (quedando un trozo de patio).

o   Conclusión: El resultado de dividir dos fracciones se obtiene multiplicando la primera fracción por la inversa de la segunda. Para llegar a esta conclusión  se insistirá con más ejemplos asociados a la división de fracciones

o   Se puede introducir la multiplicación en cruz de los términos de las fracciones como la manera más usual de resolver la división ( para evitar que tengan que escribir de nuevo las fracciones invirtiendo la segunda)  Así:

1.4.         Multiplicar y dividir números decimales.

·         En el último curso de primaria completaremos el cálculo con números decimales, trabajando la multiplicación y la división de estos números entre sí.

·         Multiplicación:

o   Buscamos una situación donde sea necesario multiplicar dos números decimales, por ejemplo: «Para forrar un mueble del aula, queremos averiguar cuánta superficie de tela hay en una pieza de 3,7 m de largo, por 0,75 m de anchura». Por lo que ya han estudiado en 5.º y 6.º curso de primaria relacionado con la medida y la geometría, saben que la operación que hay que hacer es:

o   Hay que recurrir a pasar las expresiones decimales a las correspondientes fracciones decimales y operar con estas, porque no saben multiplicar dos números decimales.

o   Se obtiene un número con tres cifras decimales, 2’775, como respuesta a cuánta superficie de tela disponemos para forrar el mueble. La justificación del número de cifras decimales del resultado, que es la suma de las cantidades de estas cifras que tienen los factores, viene dada por el denominador de la fracción resultado, 1000 en este caso. Siguiendo la cadena de igualdades hacia la izquierda, se ve que este 1000 es el resultado de la multiplicación de 10 x 100, que son respectivamente los denominadores asociados a una y dos cifras decimales de los factores.

o   Si queremos resolver la multiplicación sin recurrir a la transformación de los factores en fracciones, pediremos a los alumnos que en este tipo de ejercicios observen cómo se obtiene el numerador de la fracción resultado, en este caso multiplicando 37 y 75, que son los números naturales correspondiente a las expresiones decimales que debemos multiplicar. Se hará así la operación:

o   Conclusión: la multiplicación de dos números decimales se resuelve multiplicándolos sin tener en cuenta las comas y colocando la coma en el resultado obtenido separando tantas cifras decimales como tienen entre los dos factores juntos. Para llegar a esta conclusión se insistirá con más ejemplos asociados a la multiplicación de números decimales.

o   Se ha de comprobar con ejemplos que la multiplicación de números decimales cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la adición.

·         División.

o   Para dividir números decimales, se recurre al mismo procedimiento que en el inicio de la multiplicación. Hay que observar qué pasa con las fracciones y, entonces, sacar la conclusión para los números decimales, analizando diferentes casos, según la cantidad de cifras decimales que tengan los términos de la división.

o   La situación inicial puede ser similar a la utilizada para dividir fracciones. Por ejemplo: «El alumnado de 6. º de primaria tiene que preparar para Carnaval unos disfraces de brujas que necesitan cada uno 2,5 m de tela negra para su confección. La madre de una niña ha llevado al aula una pieza de tela comprada en un mercado ambulante, que mide 12,7 m. ¿Cuántos disfraces se podrán elaborar con ella?». Después de comentar con el alumnado los diferentes procedimientos que propongan para obtener la solución, deberán tener claro que es necesario hacer la división:

§  Como no saben hacerla, expresaremos los números con fracciones y tendremos:

§  Se observa que se ha pasado de una división de números decimales a una de números naturales, multiplicando los números iniciales por la unidad seguida de tantos ceros como han sido necesarios para transformarlos.

o   Con situaciones problemáticas análogas, se trabajaría el caso en el que el dividendo tenga menos cifras decimales que el divisor, por ejemplo:

o   Norma general: la división de dos números decimales se resuelve multiplicándolos por el mismo número, que será la unidad seguida de tantos ceros como sea necesaria a fin de convertir ambos en números naturales y efectuando la división de estos. Para llegar a ella se insistirá con más ejemplos asociados a la división de decimales.

1.5.          Introducir la proporcionalidad directa. Regla de 3 simple.

·         Se buscaran situaciones en las que las fracciones se interpreten como una razón entre dos cantidades y, en particular, las que se refieren al trabajo con proporcionalidades (no con probabilidad).

·         En 6. º se empezara con la razón de proporcionalidad (las cantidades crecen o decrecen manteniendo una relación constante entre ellas).

o   Ej.; si entre los ingredientes de una receta de cocina sabemos que hacen falta 50 g de miel para hacer un pastel para 4 personas, se quiere saber cuánta se necesita para 8 o 16 personas. Se comenta con los alumnos cómo averiguarlo y para visualizar las relaciones numéricas habría que llegar a usar una tabla como la siguiente:

Número de personas	4	8	16
Cantidad de miel	50

§  Al observar que el número de personas de cada columna duplica el de la columna anterior, pensarán que el cálculo necesario para obtener las cantidades de miel que faltan es duplicar el anterior. Una vez hechos los cálculos, la tabla quedará:

Número de personas	4	8	16
Cantidad de miel	50	100	200

§  se representan por las fracciones 4/50, 8/100 16/200, que son equivalentes entre sí y que tienen como fracción irreductible 2/25 (constante de proporcionalidad) y podemos decir que el número de personas y la cantidad de miel se encuentran en relación de proporcionalidad directa (directamente proporcionales).

o   Si se diera el caso de que fueran 12 las personas, al pedirles que averigüen la cantidad de miel necesaria con ayuda de la tabla, podrían insertar una nueva columna entre el 8 y el 16, además  seria lógico pensar que si el 12 se obtiene sumando los valores anteriores 4 + 8, para obtener la cantidad de miel deberá seguirse el mismo procedimiento: 50 + 100:

Número de personas	4	8	12	16
Cantidad de miel	50	100	150	200

§  Para saber si el resultado obtenido es correcto, expresarán la razón entre el número de personas (12) y la cantidad de miel (150), es decir y comprobarán que 12/150 es una fracción equivalente a 2/25, que es la constante de proporcionalidad de esta situación problemática.

o   Si necesitamos hacer el pastel para 5 personas, se deberá averiguar la  cuánta miel haría falta en este caso. Ahora no pueden sacar la cantidad de manera tan intuitiva como en los casos de la tabla. Después de reflexionar la manera de obtenerla les ayudaremos a descubrir la necesidad de conocer la cantidad de miel por persona y multiplicarla después por las 5 personas, en este caso. Así, los cálculos deberían ser 50: 4 = 12,5 gramos de miel por persona y 12,5 x 5 = 62,5 gramos de miel para las 5 personas.

o   Estas y otras situaciones similares se pueden resolver utilizando lo que habitualmente se llama «Regla de tres simple», que no es más que otra manera de presentar el uso de la proporcionalidad. Así, por ejemplo, en la situación anterior si se quiere averiguar cuánta miel hace falta para hacer el pastel para 12 personas, ayudaremos a los alumnos a hacer el siguiente razonamiento: si por 4 personas necesitan 50 g de miel, por 12 personas hará falta una cantidad desconocida que hay que encontrar y que llamaremos «x». Como ya se ha mencionado, la relación entre 4 y 50 se mantendrá entre 12 y x, para que el pastel mantenga la dulzura. Esta proporcionalidad se puede representar con el formato:

§  Para calcular x el alumnado necesita los conceptos de proporcionalidad y de equivalencia de fracciones.

¨      Por el primero saben que:

¨      para el segundo: 4x=12*50

§  En este momento podemos preguntar cómo obtener el valor de x y si no se les ocurre, les sugeriremos la utilización de la idea de división exacta para identificar 12 · 50 como un dividendo, 4 como un divisor y x como un cociente.

1.6.         Obtener la fracción generatriz que corresponde a cualquier expresión decimal y viceversa.

·         Se estudia en sexto.

·         Para completar las relaciones que existen entre fracciones y expresiones decimales: se estudiara la relación entre expresiones decimales periódicos y fracciones no decimales. Habrá que encontrar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica y viceversa.

o   Obtendremos las fracciones generatrices de expresiones decimales periódicas puras o mixtas, que no son más que las fracciones irreducibles que generan dichas expresiones decimales. Estos cálculos son necesarios para operar rápido pero a veces el proceso de encontrar estas fracciones les ha parecido una serie de procesos sin utilidad que solo sirve para obtenerlas.

·         Insistir en que las expresiones decimales periódicas pueden aparecer en la vida cotidiana (adaptaciones de las cantidades de ingredientes de recetas para diferentes números de comensales, variaciones en la bolsa, valores estadísticos ...).Como no podemos expresar las infinitas cifras decimales de estas cantidades, para operar con ellas las convertimos en expresiones decimales exactas bien por truncamiento o por redondeo = pérdida de información, para evitarlo necesitamos saber cuáles son las fracciones que generan las expresiones decimales periódicas.

·         En sexto  ya deberían tener el suficiente grado de abstracción como para entender estas cuestiones y la justificación de las mismas, por lo que conviene dar herramientas para calcularlas con lo que saben, pero de una manera sencilla.

·         Partiremos primero de una expresión periódica pura,

o   EJ: 1,53 y queremos saber la fracción generatriz de ésta, que llamaremos x hasta que la encontremos (x=1,53). La dificultad para encontrar la fracción está en el período= Se ha de encontrar un procedimiento que garantice la eliminación del período, para ello se buscara otra expresión y una operación, cuyo resultado no sea ya periódico.

§  Se observa que la única operación que hace desaparecer el periodo es la sustracción en la que el otro término tiene el mismo período que éste. Para conseguir una sustracción de este tipo, se convierte la igualdad en otra  que conserve el período y que actuará como minuendo. La manera de obtenerla será multiplicar la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el período: 100x=153,53. El sustraendo será la igualdad inicial y la sustracción será:

§  Puede que esta obtención de la fracción generatriz no resulte intuitiva para los niños y niñas. En este caso podemos proponerles una actividad con la calculadora que consiste en obtener las fracciones que han generado las siguientes expresiones decimales, sin dar ninguna información más de tal forma que  al final de la sesión, habrán encontrado las fracciones o las fracciones equivalentes, las cuales tendremos que simplificar para obtenerlas.

§  Se repite el experimento pero con varias cifras en el periodo

o   Es muy importante haber conseguido esto (será una fracción con tantos nueves en el denominador como cifras estén en el numerador, es decir, como cifras tenga el período), porque ya saben pasar a fracción cualquier expresión decimal periódica pura, pero con parte entera nula, así que si ahora tienen que pasar a fracción una periódica pura pero con parte entera no nula, solo tendrán que separar las dos partes de la expresión y aplicar lo que ya saben.

o   Una vez se ha trabajado suficientemente, se puede sintetizar con una regla (no antes porque pierde el sentido): la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura, tiene como numerador el resultado de restar el número natural formado por la parte entera seguido del período, menos el número natural formado solo por la parte entera, y como denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período. Que no es más que un atajo para obtener el resultado anterior, sin saber qué se está haciendo.

·         El número es periódico mixto.

o   EJ: 1,325, se continuará llamando x a la fracción que se busca: x 1,325 y el procedimiento ahora constará de dos pasos:

§  1º convertirá la expresión periódica mixta en una periódica pura multiplicando la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo: 100X = 132,5.

§  2º Aplicar a esta nueva igualdad el procedimiento visto antes para las expresiones periódicas puras, es decir: 100x=1325,5.

§  Los términos de la sustracción serán ahora estas dos últimas igualdades:

o   Para encontrar  intuitivamente la fracción generatriz se puede introducir una reflexión sobre otro procedimiento.

§  Ya saben obtener la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura y también saben que una expresión periódica mixta se diferencia de la pura en que hay un número finito de cifras decimales que no se repiten y que siempre están entre la coma y el período, es decir, el anteperíodo

§  Se deben descomponer la expresión decimal periódica mixta como suma de una expresión decimal exacta y de una periódica mixta más sencilla y hacer los cálculos con estas.

¨      Si partimos del ejemplo anterior: 1,325=1,32+0,005. Del primer sumando, no hay que preocuparse, ya se sabe convertir fracción decimal:

¨      Para encontrar la expresión generatriz del segundo sumando, hay que multiplicarlo por la unidad seguida de tantos ceros como ceros tenga la anteperíodo, en este caso 100, por tanto:

¨      ya saben obtener la fracción generatriz:

¨      Finalmente hay que deshacer el cambio inicial, si habíamos multiplicado por 100, dividiremos por 100:

¨      Para encontrar la fracción generatriz definitiva, solo faltará sumar las dos fracciones obtenidas:

o    Se sintetiza este cálculo con la siguiente regla: La fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta, tiene como numerador el resultado de restar el número natural formado por la parte entera seguida de la anteperíodo y del período, menos el número natural formado por la parte entera seguida de la anteperíodo, y como denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

·         Si la fracción que se obtiene no fuera irreductible, habrá que simplificarla hasta que lo sea para llegar así a la fracción generatriz buscada.

·         Como complemento del cálculo de la fracción generatriz de cualquier expresión decimal podemos trabajar el cálculo de la expresión decimal que corresponde a cualquier fracción. Sabemos que el procedimiento para encontrar esta expresión es resolver la división indicada en la fracción.

o   Para evitar errores o cálculos innecesarios, antes de hacer la división, será necesario saber cómo será la expresión decimal, para ello se ha de calcular diferentes expresiones decimales a partir de algunas fracciones irreducibles, con el fin de observar luego los resultados y sacar conclusiones.

o   Así, calcularán las expresiones decimales de: 3/2, 2/5, 3/7, 4/11, 5/6, 28/15, obteniendo 1,5; 0,4; 0,428571428571...; 0,3636...; 0,8333...; 1,8666... respectivamente.

o   Trabajaremos más ejemplos similares con otras fracciones irreducibles; también utilizaremos la calculadora además del cálculo con lápiz y papel, a fin de comprobar que, a veces, el resultado que proporciona la máquina no corresponde al mismo tipo de expresión decimal (cuando el número de cifras decimales es muy grande).

o   Se reflexionara sobre las fracciones y que se observara que en los denominadores para intentar sacar las primeras conclusiones alrededor de las relaciones que pueden existir entre éstos y las diferentes expresiones decimales que obtenemos.

·         Con o sin ayudas deben llegar al descubrimiento de la necesidad de conocer las fracciones irreducibles de las dadas y, observando los factores primos del denominador de éstas, saber qué tipo de expresión decimal obtendremos de acuerdo con los siguientes casos:

o   Si los factores primos son solo 2 y/o 5, las expresiones decimales correspondientes serán exactas.

o   Si los factores primos son diferentes de 2 y 5, las expresiones decimales correspondientes serán periódicas puras.

o   Si los factores primos combinan 2 y/o 5, con otros factores primos las expresiones decimales correspondientes serán periódicas mixtas.

·         Una vez está construido el puente entre expresiones decimales y fracciones, los datos de los problemas se pueden expresar numéricamente según convenga. Toda la equivalencia de operatividad entre fracciones y expresiones decimales queda, por tanto, conectada.

1.7.         Aplicar los conocimientos sobre fracciones y expresiones decimales para resolver e inventar problemas.

·         Es en situaciones reales donde cobra especial sentido el trabajo hecho con fracciones y decimales.

·         Aunque la resolución e invención de problema se ha practicado desde el principio, aunque aparezca lo último.

·          La resolución de problemas se ha de realizar tomando como orientación las 4 fases de Polya (comprender el problema, elaborar un plan, ejecutar el plan y examinar la solución) y reflexionando sobre la importancia, desarrollo y utilidad de cada una de ellas.

·         Se deben  aprovechar los errores que puedan surgir para reflexionar y potenciar nuevas situaciones de aprendizaje. Es muy importante diferenciar entre los errores de cálculo y los errores de razonamiento, dado que exigen métodos diferentes para su tratamiento.

·         Desarrollaremos este trabajo en los últimos cursos de primaria, respetando los niveles cognitivos de los alumnos respecto de fracciones y decimales.

·         Se trabajara la  invención de problemas relacionados con estos conceptos. Lo que se pretende es comprobar si son capaces de generar situaciones que se resuelvan con ellos. El trabajo de inventar problemas será posterior al de resolverlos. Cada vez que les propongamos la invención de un tipo nuevo de problemas recorreremos los pasos siguientes ( se presentan secuenciados por su dificultad, independientemente del curso):

o   Con ayudas:

§  Les daremos los números, el contexto y/o las operaciones que  intervienen en la situación.

§  Les daremos los números y/o las operaciones, pero no el contexto.

o   Sin ayudas:

§  les daremos solo los tipos de números y/o las operaciones que han de aparecer en la situación problemática

·         Después de inventar las situaciones problemáticas, las intercambian con los compañeros con el fin de potenciar su capacidad tanto de redacción como de expresión matemática, que implicará la exigencia de claridad y de totalidad en datos e incógnitas.

2.  Magnitud y medida.

2.1.         Introducción histórica.

·         La magnitud son ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma numérica (magnitudes escalares) o por medio de un vector (magnitudes vectoriales).

·         Medir es relacionar una cantidad de una magnitud con patrones universalmente aceptados (otra/as cantidad/es de la misma magnitud).

·         Hay que tener en cuenta 4 variables para medir:

o   Una magnitud.

o   Una cantidad de la magnitud.

o   Una cantidad relacionada con la cantidad de magnitud y la magnitud.

o   Un número: resultado de la comparación de la cantidad con la unidad escogida.

·         La necesidad de medir es algo cotidiano y habitual por eso es un tema que ha ido evolucionando.

o   Antiguamente se elegían muchas unidades de referencia para medir un mismo tipo de magnitudes, los resultados de la medida eran números sencillos (2 o 3 cifras enteras y 1 o 2 decimales).

§  La masa de las piedras preciosas se media en quilates (quilates métricos): unidad derivada de la masa de las semillas de un árbol árabe. No confundir el término quilate con otro utilizado en las joyerías.

§  Las cantidades grandes como las cosechas se medían en toneladas.

o   Como había distintos tipos de medida (anegada = 833,3 m², aún se usa. Hectárea = aún se usa. Cuartones (unidad de medida de Mallorca) y fanegada) se tenía que adoptar una unidad única, pero los números eran complicados dependiendo del tamaño de lo medido.

o   Finalmente, se adoptó una medida única y se usaba con múltiplos y submúltiplos, intentando que el resultado fuera un número cómodo.

2.2.         Sistema internacional de unidades.

·         Sistema Métrico Decimal: Primer conjunto de unidades concebido como un sistema estable creado en Francia.

·         Sistema cegesimal (gs), centímetros, gramos y segundos: creado en el congreso internacional de electricistas. Karl Gauss.

·         Sistema MKM (metro, kilogramo, segundo) creado por Giovannigiorgi, se basa en el primero y dio lugar, al ser amplificado, al sistema internacional.

·         Actualmente se usa en todo el mundo el sistema internacional (SI), menos en EEUU que aún están en transición.

o   Ventajas del SI:

§  Homogeneiza las transacciones científicas, técnicas y comerciales.

§  Facilita la comparación de valores dispares de una misma magnitud y entre las diferentes magnitudes.

o   El SI es un sistema de unidades de medida común para todas las áreas de la ciencia y la tecnología. Fue el resultado del trabajo de diversas organizaciones internacionales.

§  Este constituido por dos clases de unidades: fundamentales y derivadas.

                                TABLA

o   Cada estado establece adopciones y exclusiones legales de carácter formativo o industrial, pero como no se suelen penalizar el no cumplirlas, es común que la unidad de medida cambie.

o   Nomenclatura científica: los símbolos usados para las unidades no son abreviaturas ortográficas, son símbolos.

o   Oficina internacional de pesos y medidas ( una asociación científica internacional): propone las normas para la correcta utilización de magnitudes, unidades y símbolos científicos y es adoptada por la administración de cada estado para facilitar intercambios de información y de materiales ( entre organismo y empresas multinacionales sobre todo)

o   Prefijos en el SI que se anteponen al nombre de la unidad y a su símbolo: se admiten múltiplos y submúltiplos para no tener que utilizar números ni muy grandes ni muy pequeños.

§  Para nombrar un múltiplo o submúltiplo de una unidad compuesta se recomienda utilizar solo el prefijo.

¨      Si la unidad compuesta es un cociente el prefijo no debe acompañar a la unidad que se encuentre en el denominador.

§  Tipos:

¨      Múltiplos:

factor	prefijo	Símbolo
1018	Exa	E
109	Giga	G
106	Mega	M
103	Quilo	K
102	Hecto	H
101	deca	Da

¨      Submúltiplos:

factor	prefijo	Símbolo
10-1	Deci	D
10-2	Centi	C
10-3	Mili	M
10-6	Micro
10-9	Nano	n
10-18	atto	a

o   Normas del SI: facilitan la comunicación y evitar confusiones.

§  Referentes a los símbolos.

¨      Se escriben con caracteres romanos rectos.

¨      Se utiliza minúscula excepto para las derivadas de nombres propios (N, Hz)

¨      Novan seguidos de punto ni toman S para el plural ( 17 m)

¨      No se deben dejar espacios entre el prefijo y la unidad ( nanómetro: nm)

¨      El producto de dos símbolos se indica mediante un punto.

§  Referentes a las unidades.

¨      Si el valor se expresa con letras, la unidad también ( dieciséis metros)

¨      Si el valor se expresa con números, la unidad puede expresarse con nombre o con símbolo.

¨      Las unidades derivadas de nombre propios se escriben igual que el nombre propio pero con minúsculas ( 2 newtons)

¨      Los nombres de las unidades toman una S en el plural, salvo si acaban en S, X, Z o Ç.

2.3.         Capacidades.

·         Consideraciones previas:

o   Los niños tienen dificultades para medir una magnitud, porque medir es también estimar, clasificar etc., pero esto no impide que desde edades tempranas tomen contacto con situaciones que les lleven a descubrir magnitudes físicas y a medirlas tanto dentro como fuera de la escuela

o   La medida es necesaria para conocer la realidad que nos rodea a partir de su cuantificación y así interpretar y resolver con más éxito las situaciones problemáticas.

o   Se debe ofrecer al alumnado contextos interesantes de trabajo que les permitan descubrir las diferentes magnitudes y las unidades más adecuadas para medirlas. Hay que ayudar a los alumnos a conseguir una conservación razonada de las cantidades de diferentes magnitudes.

1)      Realizar mediciones de longitud, capacidad y masa, utilizando unidades naturales y arbitrarias, comprobando la relatividad de la medida y descubriendo la necesidad de la existencia de una unidad patrón para realizarlas.

o   En el alumnado surge la necesidad de medir como solución a situaciones de juego, trabajo etc. expresar capacidades de magnitud es una  capacidad nueva que van elaborando y que requiere de acciones personales de comparación de objetos, de medida, de estimación… hasta llegar a la concreción numérica ( aplicación inmediata de los números)

o   Conocimiento de diferentes magnitudes a partir de la comparación a la concreción numérica ( aplicación inmediata de los números)

o   El conocimiento de diferentes magnitudes a partir de la comparación de objetos con cada una = realización de medidas.

o   Se comenzara en educación infantil, de forma experimental, utilizando unidades corporales (palmos, puñados…) y arbitrarias (cuerdas, vasos…), siempre reflexionando y discutiendo sobre la validez de las mismas. Superando esta etapa, se trabajaran las unidades normalizadas o convencionales. Para superar la etapa:

§  En 1º de primaria: se plantean actividades parecidas a las de infantil que provoquen el dialogo sobre la necesidad de utilizar la misma unidad para cada magnitud ( trabajo intuitivo)

¨      Ej.: quieren hacer una merienda y necesitan saber cuánto zumo les hace falta.

Ø  1º se llena una jarra y se cuantifica el contenido con diferentes tipos de recipientes entonces alguno dirá que si no se utiliza solo un recipiente y de un solo tipo para medirlo no tendrá sentido.

Ø  2º se calcula la medida pero con un solo baso. En un inicio a la medida y se trabajara de igual forma la longitud y la masa.

Ø  3º se plantea la cuestión de ¿si cambiamos la unidad de medida se cambiaría el resultado?: hemos de llegar al resultado de que aunque la cantidad de zumo sea la misma, el reparto sería para menos o más gente, entonces los resultados de las medidas no coinciden. Esto ocurre también en los sistemas de numeración.

Ø  4º conclusión final: se ha de encontrar una unidad patrón conocida y aceptada por todo el mundo.

2)      Reconocer y utilizar las unidades de longitud, capacidad y masa: metro, decímetro, centímetro, litro y kilogramo:

o   Longitud ( primer ciclo de E.P)

§  Debemos partir de sus conocimientos previos sobre el metro: lo conocerán y sabrán que se utiliza para medir (como es de largo algo). Esta será la unidad patrón para medir longitudes que se han buscado en el aula y en todo el mundo.

§  Se ha de introducir de manera significativa con un instrumento que mida un metro y que sea manipulable y utilizable.

§  Se ha de introducir el metro por su símbolo y utilizarlo para medir diferentes objetos ( con una longitud que sea múltiplo dentro de un metro)

§  Verbalizar y representar con lápiz y papel los resultados de las mediciones.

§  Crear por último la necesidad de medir cosas más cortas, menos que un metro y mayores o iguales que un decímetro y buscar por el aula algún objeto que les pueda servir como unidad.

¨      Se pueden usar los bloques multibase para trabajar el sistema de numeración (longitud de una fila con unidad) u otros materiales como cuerdas, palos etc., que midan un centímetro (sin que ellos lo sepan) para que lo utilicen como unidad.

¨      Para expresar los resultados de las mediciones se le ha de poner nombre a la nueva unidad: se compara la nueva unidad con la que ya conocían y se comprueba que se necesitan 10 unidades de las nuevas para completar un metro, se elegirá el nombre decímetro y su símbolo será dm ( se tendrán que hacer mediciones con el dm y expresar sus resultados)

§  Luego deberán medir cosas más pequeñas a un dm y para ello se plantearan situaciones que lo exijan.

¨      Se puede usar como unidad las aristas de los cubos multibase o algún palito o cuerda que mida 1 centímetro.

¨      Para ponerle nombre al centímetro se observara que caben 100 en un metro y se llamara centímetro y su símbolo cm.

¨      Mediaran objetos y expresaran verbalmente y por escrito los resultados

§  Para relacionar el metro con el decímetro y el centímetro se pueden usar:

¨      Los bloques multibase.

¨      La metrolínea: regla rígida de 1m con un surco central que la recorre, donde se pueden situar centicubos (cubos de plástico Encajables de 1cm cúbicos. Los cubos se introducen dentro de la regla y sirven para relacionar el metro con el decímetro (agrupamos de 10 en 10) y el metro con el centímetro si los consideramos de manera aislada.

o   Capacidad ( 1º ciclo de primaria)

§  Se parte de los conocimientos previos sobre el litro: seguramente sabrán que se utiliza para medir “cuanto cabe en un recipiente”.

§  El litro será la unidad patrón para capacidades.

§  Se introduce el litro de manera significativa por medio de recipientes reales que midan un litro y puedan traer de casa, han de comparar para observar que todos tienen la misma capacidad ( unicidad)

§  Se pueden usar también los vasos graduados, el kit de litro etc.

§  Se ha de representar el litro por su símbolo l o L y utilizarlo para medir diferentes recipientes, cuya capacidad sea un múltiplo entero de 1 litro.

§  Verbalizar y representar los resultados de las mediciones utilizando los números y la unidad.

o   Masa (1º ciclo).

§  Se parte de los conocimientos previos sobre el kilogramo, seguramente sabrán que se utiliza para medir “cuánto pesa algo”. Será la unidad patrón buscada en consenso por todo el mundo.

§  Se introduce el kilogramo de forma significativa, se llevan a clase objetos que pesen un kilogramo y se comparan entre ellos para comprobar que poseen lo mismo ( unicidad)

§  Se pueden utilizar balanzas de plástico, luego cubetas que permiten comparar además sólidos, líquidos o ácidos.

§  Finalmente se adquiere totalmente la idea de kilogramo a través de las pesas convencionales, luego se utilizaran balanzas con pesas para compararlas con los objetos reales comprobando la unicidad.

§  Después representaremos el kilogramo por su símbolo Kg y lo usaremos para medir objetos cuya masa sea múltiplo entero del kilogramo, después se verbalizara en el papel los resultados obtenidos, expresando de manera correcta los números que indican la medida y el símbolo de la unidad utilizada.

o   Se introduce el medio metro, medio litro o medio kilogramo y el cuarto de litro o de kilogramo una vez adquiridas las unidades fundamentales.

§  Se han de introducir cuando existan situaciones en el aula que lo necesiten, en estos casos se dispondrá de objetos, recipientes o paquetes de la vida real que midan las partes mencionadas y se compararan con las unidades fundamentales. El objetivo es que lleguen a comprobar que son necesarias 2 o 4 de las nuevas unidades para completar las fundamentales.

§  Se les da material didáctico que presenta las nuevas unidades: reglas de medio metro, recipientes de medio o de cuarto de litro, pesas de medio o cuarto de kilogramo, para que comprueben otra vez las relaciones mencionadas anteriormente.

§  Se hacen actividades para introducir los nombres de las nuevas unidades y su simbolización (fracciones: ½ m, ½ l etc.)

o   Para que el alumno llegue a la conservación de la cantidad: se realizaran actividades:

§  Sobre las tres magnitudes en las que utilizaran las unidades de medida trabajadas y si es necesario algunas arbitrarias para que lo comprueben.

§  En las que no se modifique la cantidad: cambiar una cantidad de agua de un recipiente a otro, midiéndola en ambos casos y comparándola etc.

§  En los que se compare la cantidad: medir la cantidad de agua que hay en un recipiente, añadir un poco más y volver a medir.

3)      Conocer y utilizar correctamente los múltiplos y submúltiplos del metro, el litro y el kilogramo, estableciendo equivalencias entre ellos.

o   3º curso de primaria: se repasara la idea de metro, litro y kilogramo como unidades fundamentales con diferentes materiales que permitan comprobar la unicidad de las mismas. Se repasa también el decímetro y el centímetro como los primeros submúltiplos del metro.

o   Se introducirá en los próximos cursos los submúltiplos y los múltiplos.

o   Longitud:

§  Se introduce un nuevo submúltiplo ante la necesidad de medir algo de menor tamaño que el centímetro, utilizando como unidad la distancia más corta que encuentran entre las marcas de las reglas usuales. El nombre de esa unidad surge de la comparación con el elemento (cada mil de ellos hacen 1 metro); surge el milímetro y su símbolo mm.

§  Se relaciona comprobando al comparar que: 10mm = 1cm y 100mm = 1dm.

§  Ya conocen la unidad y el símbolo, ahora la utilizaran para medir objetos cuya longitud sea un múltiplo entero de un milímetro y expresan verbalmente y por escrito los resultados, utilizando de manera correcta los números y símbolos.

§  En 4º los alumnos conocen las fracciones y los decimales: se expresan los submúltiplos del metro así:

¨      1dm = 0,1m =1/10 m, es una décima parte del metro ( se divide en 10 partes el metro)

¨      1cm = 0,01m =1/100m, es una centésima parte del metro ( se divide 1 metro en 100 partes iguales)

¨      1mm= 0,001m = 1/ 1000 m, es una milésima parte del metro ( se divide  1 metro en 1000 partes)

§  Si se necesitan expresar longitudes más largas que 1m:

¨      Primero el kilogramo, se introducirá como unidad equivalente a mil metros y su símbolo serán km. Se le pide al alumno que busque distancias largas y observe que las expresiones utilizan los números y símbolos de la unidad ( no se pueden hacer mediciones de forma experimental, demasiado grande)

¨      Se introduce el decámetro y el hectómetro por simetría con los submúltiplos y respetando la estructura decimal del sistema métrico.

Ø   1hm = 100m à hectómetro.

Ø  1 dam = 10m à decámetro.

Ø  10hm= 1km à hectómetro

Ø  100dam= 1km à decámetro.

Ø  Para darles sentido buscaremos situaciones reales en las que se usen.

Ø  Cuando conozcan las fracciones decimales representaran las relaciones anteriores mediante fracciones.

o   Capacidad:

§  A partir del conocimiento del litro se introducen los submúltiplos.

¨      Se llevaran al aula diversos recipientes cuya capacidad este indicada en centilitros o milímetros, fijándonos en el símbolo cl o ml. Se usan los vasos graduados para hacer comparaciones y mediciones y para comprobar que hacen falta 100cl o 1000ml para llenar un litro.

¨      Se introduce el decilitro como una unidad para completar la secuencia de submúltiplos del litro y respetar la estructura decimal del sistema métrico.

Ø  Relaciones con los otros submúltiplos:

       10 dl = 1 l

       1 dl = 100ml = 10 cl

¨      Se usaran estas unidades para medir la capacidad de diferentes recipientes y expresan verbalmente y por escrito los resultados obtenidos y sus símbolos.

¨      Cuando conozcan las fracciones y decimales representaran las relaciones anteriores mediante fracciones.

Ø  1 dl = 0,1 l= 1/10 à dividir 1 litro en 10 partes iguales ( decima)

Ø  1 cl = 0,01 l= 1/100 l à dividir  1 litro en 100 partes iguales 8 centésima)

Ø  1ml = 0,001 l = 1/1000 l à dividir 1 litro en 1000 partes iguales ( milésima)

§  Múltiplos: cuando las capacidades que necesiten expresar sean mucho más grandes que un litro.

¨      Se introducen el decalitro, hectolitro y kilómetro y sus equivalencias y símbolos:

Ø  1dal = 10 l

Ø  1 hl = 100 l

Ø  1 kl = 1000 l

¨      Se buscaran situaciones reales e las que se utilicen estos múltiplos

¨      Cuando conozcan las fracciones y decimales representaran las relaciones mencionadas con ellas.

o   Masa:

§  Se repasa el kilogramo y se introducen los submúltiplos de la unidad fundamenta. Llevaremos al aula diversos envases, cuyo peso este indicado en gramos fijándonos en el símbolo g y juntaremos varios de ellos hasta conseguir equilibrar en una balanza una pesa de 1kg, comprobando que se necesitan 100 g para equilibrarla.

§  Se introducen los demás submúltiplos del kilogramo respetando la estructura decimal del sistema métrico. Se introducen el decagramo y el hectogramo:

¨      Relaciones del decagramo y el hectogramo.

Ø  1 dag = 10 g

Ø  1hg = 100g

¨      Se observa que los submúltiplos del kilogramo tienen las expresiones ligadas al gramo, como si este fuera la unidad central de la magnitud.

¨      Cuando conozcan las fracciones y los decimales se expresaran los submúltiplos del kilogramo utilizando estas expresiones:

Ø   1hg = 0,1 kg = 1/10 Kg à dividir 1 kg en 10 partes iguales.

Ø  1 dag = 0,01kg = 1/10 kg à dividir 1kg en 100 partes iguales.

Ø  1g = 0,001kg = 1/100 kg à dividir  1kg en 100 partes iguales.

§  Como el gramo es la unidad fundamental de la masa en el sistema cegesimal, aunque no lo es en el SI, hay  también submúltiplos del gramo.

¨      Primero han de conocer el miligramo, ya que se puede encontrar en contextos reales (medicamentos). Es muy difícil manipular esa cantidad en el aula de primaria, así que se definiría como la masa que resulta de dividir 1 gramo en 1000 partes iguales: 1mg = 0,001 g = 1/1000 g

¨      Se introducirá el decigramo y el centigramo para completar la secuencia de submúltiplos respetando la estructura decimal del sistema de unidades.

Ø  Relaciones:

       1 dg = 0,1g = 1/10 g

       1 Cg = 0,01g = 1/100 g

Ø  Dada la dificultad para hacer mediciones con estas unidades en el aula de primaria les diremos que busquen situaciones reales en las que se usen.

§  Tonelada: múltiplo del kilogramo con un extendido uso social. esta unidad tiene un valor de 1000kg y se simboliza por t. se les pide a los niños que encuentren esta unidad en diferentes contextos.

o   Al final del 4º curso de primaria, se reflejaran todas las unidades en un cuadro resumen.

Longitud	mm	cm	dm	m	dam	hm	km
Capacidad	ml	cl	dl	l	dal	hl	kl
masa	mg	cg	dg	g	dag	hg	kg	T

o   Para conseguir definitivamente la conservación razonada de las cantidades y como complemento del trabajo realizado en 3º y 4º pondremos en práctica actividades semejantes a las anteriores y para hacer las comprobaciones pertinentes podremos utilizar todas las unidades de medida que se han trabajado.

o   Se pueden presentar en clase aquellas unidades autóctonas que los alumnos hayan podido oír en su corta vida y relacionarlas con las unidades del SI.

4)      Expresar medidas de longitud, capacidad y masa de forma compleja. Transformar expresiones de medida compleja en incomplejas y viceversa.

o   Se desarrolla a partir de 4º curso, después de que el alumnado conozca los números decimales.

o   Los resultados de las medidas los pueden expresar de forma compleja utilizando diferentes unidades ( ej.: 3m 8dm 1cm) y de manera incompleja ( simple) con una sola unidad ( ej.: 3,81 m; 38,1 dm)

§  Se ha de insistir en el hecho de que no estamos representando diferentes cantidades aunque se utilicen distintas escrituras.

§  Se insiste en que la cantidad es la misma y se conserva independientemente de la manera de expresarla

§  Para poder transformar unas expresiones en otras los alumnos han de dominar las diferentes unidades de medida y las relaciones decimales entre ellas.

5)      Identificar el valor de las monedas y billetes de nuestro sistema monetario y utilizarlo para expresar cantidades de dinero concretas.

o   El sistema monetario es fruto de un convenio para otorgar valor a los diferentes “elementos”( no es una propiedad física de los objetos como pasaba en las anteriores magnitudes)

o   En los primeros años aunque no sepan las fracciones (el sistema monetario es fraccionario) habrá que trabajarlo por la necesidad de adaptarlo al medio.

o   Será necesario considerar ciertos aspectos de manera especial a la hora de trabajar con el alumnado estos contenidos:

§  Las unidades:  se introduce el euro como unidad del sistema monetario y se presenta el céntimo como “ aquello que , juntando 100, completa 1€” ( no como la centésima parte del euro)

§  La coma: marca que delimita la parte del número que corresponde a los euros ( izquierda) y la de los céntimos ( derecha)

§  Las operaciones: cuando se necesite operar y no se conozcan los números decimales entonces se puede operar separando los números que representan euros y luego se juntan los resultados creando un compuesto.

o   Se empezara en 1º curso introduciendo los céntimos ( 1,2,5,10,20,50) y de euros (1 y 2), luego poco a poco se incorporaran los billetes de 5€, 10€ , 20€ y 50€ ,

o   En segundo curso se introducen los billetes de 100€, 200€ y 500€.

o   Eurodominio: para reforzar cálculos mentales ya que se asocia cantidades numéricas de dinero con la utilización del mismo usando monedas.

o   Material de dinero en plástico: para trabajar las relaciones entre monedas y billetes realizando en clase actividades de compraventa después situaciones de dinero que se trabajen con lápiz y papel para representar las operaciones implicadas.

§  Al trabajar la adición y por orden de dificultad, nos encontramos con 2 niveles distintos:

¨      La parte decimal del resultado no supera los 100 centímetro.

Ø  Si tienen que sumar los precios (problema real) 12,35 y 15,24 no habrá conflicto al operar como si fuera una adición natural y la coma se pondrá por imitación a los sumandos.

¨      La parte decimal del resultado supera los 100 centímetros.

Ø  En este caso usaran, si lo necesitan, la manera de operar en la que se separaran los euros de los céntimos y luego se expresa el resultado de manera correcta.

Ø  Si tienen asumida la adición llevando y la coma no les crea problemas, se puede operar insistiendo en colocar la como del resultado en el lugar adecuado.

§  La sustracción: para saber si les devolvieron bien el cambio o para saber lo que les quedaría despéese comprar algo. Para resolverlas se respetaran los niveles propuestos para la sustracción de números naturales en general.

¨      En 1º curso restaran sin llevar

¨      En 2º restaran llevando utilizando el mismo algoritmo (natural o estándar) que estén usando para realizar otras sustracciones. Si es necesario, se restaran los números separando los euros de los céntimos y se aplica los algoritmos para restar cada parte, teniendo en cuenta que puede ser necesario modificar los términos de ambas sustracciones antes de restar cuando aparezcan en el minuendo cifras menores que a los del sustraendo.

o   En 3º de primaria solo se repasa lo que se dio sobre monedas y billetes

o   En situaciones cotidianas redactadas en el aula (un quiosco, grupos de 5 niños tienen que aportar una cantidad de dinero determinada) se pueden  encontrar con multiplicaciones y divisiones con decimales. En todas estas situaciones tendrán que separar, si es necesario, el número de euros y el de céntimos para hacer las operaciones y unificar los resultados obtenidos para expresar correctamente la cantidad final.

6)      Completar el conocimiento de nuestro sistema monetario, relacionando las monedas y billetes con los números decimales.

o   En 4º se puede aplicar los decimales a las actividades con dinero, para dar contenido a las actividades intuitivas que se hacían anteriormente.

o   Se introduce el céntimo como la centésima parte de un euro y algunas monedas se pueden presentar como la décima o centésima parte de otras.

o   Últimos cursos: solo se utiliza el sistema monetario para resolver situaciones problemáticas, que pueden ser el cambio de moneda de euros a dólares o libras esterlinas y viceversa.

7)      Comprobar la relatividad de la percepción del tiempo y descubrir la necesidad de una unidad patrón para medirlo.

o   La magnitud tiempo no se puede experimentar físicamente pero hay que trabajarla porque es algo cotidiano, aunque es un aprendizaje muy lento.

o   En infantil; se trabajaron  diferentes coordenadas temporales (poco tiempo, mucho tiempo…), se trabaja con secuencias en las que ordenan temporalmente dibujos sencillos.

o   Con 5 años se aproximan a la cuantificación del tiempo usando relojes de arena, de agua, de velas… para comparar de manera objetiva la duración de 2 o más situaciones diferentes que no sean simultaneas ( porque según emociones parece que el tiempo pase más despacio o rápido). Para saber cuánto tiempo ha pasado, necesitaremos medir la hora, es decir, una unidad patrón: la hora.

o   1º de primaria: refuerzan las diferentes nociones de orientación temporal, ordenando secuencias más complicadas (más escenas que antes) y retomando el estudio de la hora como unidad de tiempo.

8)      Reconocer y utilizar las unidades de tiempo: horas, medias horas, cuartos de hora, minutos y segundos. Interpretar las horas en el reloj.

o   Conocimiento de la hora: con distintos tipos de relojes analógicos o con los relojes de engranajes en los que uno gira la manecilla.

o   Han de identificar la duración de una hora con el tiempo que tarda la aguja larga en dar una vuelta completa, o la corta en moverse un número al siguiente. El símbolo de la hora es el h

o   En diferentes momentos de la jornada escolar y relacionada con actividades se trabajara la lectura, representación gráfica y la escritura literal de las horas en punto. Se pueden usar como apoyo los relojes escolares de madera (es uno grande para el profesor y 20 pequeños para los alumnos)

o   Conocer la hora va con el conocimiento del día como periodo de 24h, por ello será necesario que los relojes analógicos utilicen los 12 números para indicar las horas pero se expresen de distinta forma para indicar si es de día o de noche.

§  En contexto coloquial: se acompañara la hora de las expresiones “de la mañana, de la tarde o de la noche” para diferenciar.

§  En contextos más formales: necesitan saber que las horas posteriores a las 12 del mediodía se indican con los números 13, 14... hasta 24.

§  Material didáctico: relojes escolares con doble numeración.

o   Se introduce la medida hora cuando conocen cuánto dura 1h y hayan trabajado la duración del tiempo en situaciones reales. Se identificara con el tiempo que tarda la aguja larga en recorrer media esfera, representándola como ½ h y comprobando su relación con la hora.

§  Se introduce cuando empiezan a preguntar ¿y si la aguja larga hace solo una parte del recorrido? ¿ cuánto tiempo ha pasado? ( nunca se introduce antes)

§  Se trabaja la lectura de las medias horas en el reloj, también su representación y su escritura, además de otros tipos de expresiones cotidianas ( hora, hora y media,  falta media hora, después de media hora)

o   En 2º se introduce el cuarto de hora, por la necesidad de medir cantidades de tiempo menores que media hora, y se asociara con el tiempo que tarda la aguja larga en recorrer una de las 4 partes iguales de la esfera, se representara por ¼ h y se relacionara con la h y la media h.

§  Se leerán, luego, los cuartos de hora en el reloj analógico, su representación y su escritura literal.

§  Hay dificultad para expresar que falta un cuarto de hora para la hora en punto siguiente ( menos cuarto)

§  Se trabajaran expresiones: hora y cuarto, después de 3 cuartos de hora…

o   A finales de 2º se introduce el minuto a través de situaciones reales.

o   En 3º se fija definitivamente la lectura de los minutos en los relojes analógicos y se introducen los relojes digitales ( expresan la información horaria mediante 2 o 3 conjuntos de números separados por 2 puntos, a la izquierda de los cuales se sitúa la h, al otro lado minutos y luego segundos)

§  Reloj digital:

¨      Más sencillos de utilizar por los niños ( solo tienen que leer los números)

¨      De su lectura no se puede deducir una comprensión correcta de lo que supone la fracción de hora que ha transcurrido en relación con los minutos leídos, por eso es mejor introducir primero los relojes analógicos.

¨      Ha veces utilizan del 1 al 12 para representar las 24h entonces se pone am a las primeras 12 horas (ante meridium) o pm (post meridium) para las 12 horas después del mediodía. Para que puedan recordar y comprender estas expresiones se les puede decir:

Ø  Si es antes del mediodía: am

Ø  Si es después del mediodía: pm

¨      Han de leer las horas en los 2 tipos de relojes, comparando las diferentes maneras de representarlas, al mismo tiempo que las comprenden e interpretan, insistiendo especialmente en situaciones del tipo “son las 6 y 20 minutos de la mañana” o “ son las 6 menos 20 de la tarde” ( analógico)

¨      La interpretación de las horas debe funcionar en un sentido (añadiendo minutos) y en otro (descontando minutos). Si es digital solo se lee.

¨      Han de saber las dos maneras de expresar el tiempo y relacionarlas tanto en analógicos como en digitales.

o   Finales de 3º cursos introduce el segundo.

§  En relojes analógicos: se usa un reloj con segundero y se identifica el segundo con el tiempo que tarda esta manecilla en recorrer el espacio entre dos marcas de los minutos.

§  En el reloj digital: un segundo es el tiempo que tarda el número de los segundos en cambiar al siguiente.

§  Se representa simbólicamente por S y l relacionaremos con el minuto y la hora:

¨      60 s = 1min

¨      3600 s = 60min = 1h

§  Utilizaran esta unidad para medir diferentes intervalos de tiempo y expresaran verbalmente y por escrito los resultados y el símbolo

§  Insistirán en: estas primeras unidades funcionan según el sistema sexagesimal.

o   En 5º de primaria se introducen la décima, la centésima y la milésima de segundo, a partir de situaciones relacionadas con el deporte y la ciencia. Estas unidades son imperceptibles por el oído humano.

§  La dificultad: a partir de los segundos se abandona el sistema sexagesimal y se utiliza el sistema decimal.

§  Se representa con cifras decimales la cantidad de segundos:

¨      1 decima = 1/10s = 0,1 s

¨      1 centésima =1/100 s = 0,01s

¨      1 milésima = 1/1000 s = 0,001 s

9)      Expresar medidas de tiempo de forma compleja. Transformar expresiones complejas en incomplejas y viceversa.

o   Se introduce en los últimos cursos de primaria por la dificultad al tener que combinar los sistemas sexagesimal y decimal.

o   Se introducen las diferentes maneras de representar el tiempo a partir de actividades en las que hay que medir intervalos de tiempo y expresar la duración total.

§  Se utilizara una unidad o varias.

§  Tendrán que convertir un tipo de expresiones en otro para poder operar.

¨      Pasar de una manera incompleja a compleja. Se procederá así: ( ej.: 3,5832h)

Ø  La unidad es la h, la parte entera (h) será 3, en la expresión compleja.

Ø  La fracción 0,5832h se multiplica por 60 para saber los minutos = 34,992 min

Ø  La fracción 0,992 min se multiplica por 60 para su de los segundos = 59, 52s

Ø  Expresión final compleja es: 3h 34min 59,52 s

¨      Pasar de una manera compleja a  incompleja ( ej.: 3h 43min 26,76s) pasos:

Ø  Se elige la h como unidad de la forma compleja. Se expresan todas las cantidades en horas. Para ello:

       Para calcular cuantos minutos son 26,76 s se dividirán entre 60 =0,446 minutos después se suma esa cantidad a los minutos que ya había = 34, 446min.

       Se dividen 43,446 entre 60 = 0,7241h

       La expresión final: 3,7241 h

Ø  Se coge otra unidad que no sea la hora, entonces las operaciones han de adaptarse.

§  En los cálculos se insistirá mucho en la expresión decimal no se transforma directamente en sexagesimal (ej.: 2,5 h NO son 2h y 50 min, sino dos horas y media o 2h 30min).

10)  Reconocer y utilizar las unidades de tiempo: día, semana, mes y año.

o   Se estudia paralelamente a la hora y unidades  derivadas, es fácil trabajarlas porque se pone la fecha en la pizarra, por la necesidad de situar en el tiempo hecho cotidianos etc...

o   El día.

§  En infantil ya estudiaron los conceptos ayer, hoy y mañana

§  1º curso: se identifica el día como un periodo de 24 h y se traslada el punto de referencia del nuevo día a las 0h, para lo cual se necesita la ayuda de la familia (porque a esa hora no hay escuela), también se puede hacer referencia a las 12 campanadas del año nuevo o a mojarse los pies en la noche de san juan.

¨      Las 24 h de un día (tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre si misma). Tiempo que tarda el reloj en  dar dos vueltas completas la aguja horaria en el reloj analógico ( 24 vueltas del minutero)

¨      Representación social de los días: se utilizan calendarios, donde se ve cada día con su numero

o   La semana.

§  Se estudia en 1º curso, porque la sucesión de los días lleva de manera natural a la semana.

§  Idea de semana: periodo de 7 días, de lunes a domingo, 5 son escolares y 2 no, con algún día festivo entre semana.

§  Deben aprender con su orden correcto cada nombre de cada día de la semana.

§  Cuando este clara la composición de la semana y su duración, entonces el alumno debe reconocer la semana como cada periodo de 7 días seguidos, sin que sea necesario empezar por el lunes.

o   El mes.

§  Se estudia en 1º de primaria

§  No es una unidad de tiempo no constante

§  Se trabaja el nombre, orden y duración de los meses, prestando atención febrero.

o   El año.

§  Se estudia en 2º de primaria.

§  Se ha de identificar como un periodo de 12 meses que va desde enero a diciembre y se han de diferenciar los bisiestos de los no bisiestos según la duración del mes de febrero

§  Para poder justificar la existencia de años de duración distinta: se hace referencia a que un año es lo que tarda la tierra en dar la vuelta al sol produciendo un desajuste en los 365 días que se arregla cada 4 años con un bisiesto (mes de febrero tiene 29 días).

§  Concepto de mes para el alumno: periodo comprendido entre dos fechas iguales  de meses consecutivos.

§  Concepto de año para el alumno: periodo de 12 meses o 365 días seguidos.

§  Completar el estudio del año con el estudio de las estaciones, trabajando los hechos y características importantes de cada una (magdalena, pascua…)

o   Para trabajar todas las unidades no horarias se puede usar el calendario mensual/anual o el magnético ( recoge información de semanas, meses, estaciones, año y se pueden señalar fechas)

11)  Realizar mediciones y transporte de ángulos.

o   Desde 3º de primaria y dentro de la geometría se ha trabajado el concepto de Angulo a partir de la manipulación, construcción, definición intuitiva, dibujo y clasificación de estos ( tomando como referencia el ángulo recto)

o   5º curso: iniciación del trabajo cuantificador de ángulos.

§  Se inicia con actividades en las que sea necesario medirlos ( dibujos, maquetas…) exigiendo así la medida de una nueva magnitud ( la amplitud angular) y de una nueva unidad ( el grado sexagesimal)

§  La nueva unidad, el grado sexagesimal: amplitud del ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Se presenta por un cero pequeño situado en posición exponencial a la derecha del número que indica la cantidad en grados.

§  Para medir esta magnitud se utiliza el transportador de ángulos o goniómetro (regla semicircular, graduada en grados sexagesimales desde 0º hasta 180º, que se apoya  sobre el diámetro mayor, en el cual hay una marca central donde se coloca el vértice del ángulo a medir, haciendo coincidir el cero con uno de sus lados. El otro lado indicara, en la graduación creciente, la cantidad de grados que mide el ángulo)

o   Se estudian los submúltiplos (minuto y segundo sexagesimal) del grado una vez conocido, usado, utilizado y adquirido el grado.

§  El minuto: surge al dividir  en 60 partes iguales el grado y se simboliza escribiendo una comilla a la derecha del número en posición sexagesimal.

§  El segundo: surge de dividir en 60 partes iguales un minuto y se simboliza escribiendo dos comillas a la derecha del número en posición exponencial

§  Es complicado encontrar actividades para los submúltiplos del grado porque son imperceptibles por el ser humano. Se les ha de decir que en la ciencia se utilizan y que por eso hay que conocerlos.

o   Los ángulos también pueden medir:

§  Usando el sistema centesimal ( todas las divisiones son 100 partes)

§  Usando el sistema circular: se utiliza el radian ( no se trabaja en primaria)

12)  Introduce la medida de superficies y volúmenes por medio de cuadrados y cubos, respectivamente.

o   Son capacidades que dependen de varias dimensiones no como las anteriores que eran lineales

o   En 1º y 2º curso de primaria y dentro del bloque de geometría ya tienen la idea de superficie y volumen, han estudiado diferentes tipos de superficies y han diferenciado entre la superficie de un cuerpo y el espacio que este ocupa ( idea intuitiva de volumen)

o   En 4º curso se introduce la superficie:

§  Para llegar a la necesidad de medir superficies hay que basarse en situaciones problemáticas que impliquen comparaciones:

¨      Se pueden resolver de tres maneras:

Ø  Directamente: comparando 2 o más superficies visualmente o por superposición.

Ø  Por descomposición: fraccionando las superficies y comparándolas

Ø  Midiendo: interesa para trabajar el concepto de medida de superficie en las unidades de esta.

¨      Se parte de una situación real “ los alumnos de una clase quieren confeccionar un mural en el panel de corcho del aula, que es bastante grande, tienen que saber la superficie del panel de corcho”

Ø  Primero se fijan en una dimensión del panel y del corcho (la altura o la anchura). Un grupo se basara en la altura y otro en la anchura lo cual generaran conflicto, el maestro deberá orientar esta dialogo para llegar a la conclusión de que se tienen que basar en las dos dimensiones a la vez

Ø  Se les pide que piensen alguna forma de comparar las superficies: primero lo recubrirán con algún elemento plano que consideren como unidad (papel, cartulina etc.) y contabilizar los objetos que han necesitado para cubrir una y la otra. Podrían haber utilizado círculos o triángulos pero deberán llegar a que el cuadrado es el que mejor recubre las superficies.

§  Cuando encuentran que las unidades que necesitan han de ser cuadradas, se puede utilizar cuadrados de diferentes tamaños para medir ya misma superficie para comprobar que el resultado es diferente, por tanto se necesita una unidad patrón.

o   En 6º curso se introduce el volumen.

§  Se sigue el mismo procedimiento

§  Se trabaja con situaciones donde hay que comparar el volumen de 2 objetos a partir de situaciones reales.

§  Se llegara  a las unidades de forma cubica como las adecuadas para medir volúmenes y a la necesidad de introducir una unidad patrón para esta magnitud.

13)  Introducir el metro cuadrado, el metro cubico y los respectivos submúltiplos y múltiplos. Utilizarlos para medir superficies planas y volúmenes muy sencillos.

o   Las primeras unidades de medida de superficie se introducirán  hacia el final de 4. º curso y se completaran durante 5. º y 6. º de primaria. Se presentaran como cuadrados, cuyos lados tengan la misma longitud que las diferentes unidades de medida de esta magnitud.

o   El orden de aparición las tres unidades (centímetro cuadrado, metro cuadrado y decímetro cuadrado) estará en función de las situaciones reales con las que iniciemos su estudio. Los instrumentos de medida de superficie son escasos por ello es conveniente crearlos en el aula de primaria en este momento inicial, para ayudar a los niños y niñas a hacer las mediciones y a construir la imagen mental de estas unidades.

o   Una vez introducida cada unidad y su nombre, presentaremos el símbolo, en estos casos cm^2, m²  o dm². Las utilizaremos para medir diferentes superficies y las compararemos entre sí (principalmente con el metro cuadrado, que es la unidad central de la magnitud superficie) para deducir las siguientes relaciones:

§  10000cm²=1m²

§  100dm²=1m²

§  100cm²=1dm²

o   Se introduce el milímetro cuadrado y su símbolo es mm ² por la necesidad de medir superficies menores que el cm ² .Con ayuda del papel milimetrado, se establecen las relaciones:

§  100mm² = 1cm²

§  10000mm² = 1dm²

§  1000000mm²=1m²

o   Se expresan los submúltiplos del metro cuadrado utilizando las fracciones y los números decimales:

o   Cuando las superficies son más grandes que 1m², se han de introducir el kilómetro cuadrado, que equivale a un cuadrado de un kilómetro de lado y su símbolo es km^2.

o   Para completar la escala de unidades  se introducen los restantes múltiplos: decámetro cuadrado y hectómetro cuadrado. Las equivalencias:

o   Para reforzar estas unidades y comprobar su utilización en contextos reales = alumnado que averigüe la medida de la superficie de su pueblo.

o   La magnitud superficie tiene un sistema propio de unidades de medida. Se introduce le área porque es una unidad fundamental de uso agrícola, después se introduce la hectárea que es su único múltiplo y después  la centiárea como submúltiplo. Equivalencias:

o   El área, la hectárea y la centiárea van de 100 en 100 y no de 10 en 10 como en la longitud.

o   En 6º curso, a partir de medir el volumen de un objeto o lugar se llega a la unidad central, al metro cubico (m³). Se ha de construir con piezas un cubo de un metro de arista en representación.

§  Submúltiplos: decámetro cubico dm³ , centímetro cubico cm³ y milímetro cubico mm³,

§  Múltiplos: decámetro cubico dam³, hectómetro cubico hm³ y kilometro cubico km³

§  Se relacionan de 1000 en 1000

§  Se manipulan el decímetro cubico y el centímetro cubico (a veces aparece mal representado en los paquetes por cc) por su cotidianidad. Evitar confusiones con el cl

o   Se estudia la relación entre la capacidad y el volumen, comprobando con diversos recipientes los siguiente:

14)   Averiguar las unidades adecuadas para medir cantidades de diferentes magnitudes. Realizar estimaciones de algunas cantidades de estas magnitudes.

o   A lo largo de toda la etapa se establecen estas preguntas:

§  ¿Qué voy a medir? Esta pregunta conecta directamente con la idea de la magnitud. Es decir, ¿voy a medir longitud, masa, capacidad, superficie, etc.? Es importante que esta distinción esté clara.

§   ¿con qué unidad? En cualquier caso, tendré que adecuar la unidad a la cantidad que voy a medir.

§  ¿Cuántas veces? Es el momento de medir las cantidades y, por tanto, he de indicar el número de veces que he utilizado la unidad elegida

o   Es importante desarrollar la capacidad de estimación.

15)  Utilizar con soltura instrumentos de medida.

o   A lo largo de toda la etapa.

o   Se ha de favorecer que sean cuidadosos con el material y se fijen en las particularidades de los instrumentos.

16)  Descubrir las expresiones para calcular las áreas de figuras planas sencillas.

o   En 6º una vez se ha hecho el estudio de las unidades de superficie se da un paso más a lo abstracto que nos permitan calcular el área de con cuadrado, de un rectángulo y de un triángulo.

§  El rectángulo se estudia a partir de los acetatos centimetrados: se calcula el área de varias de estas figuras (que habremos preparado y que tendrán números enteros como longitud de los lados), superponiendo la cuadrícula del acetato y contabilizando los centímetros cuadrados que la recubren. En cada ocasión hay que medir también los dos lados diferentes de las figuras y anotarlo todo, formando así una tabla en la que, para cada figura, tendremos el valor del área en una columna y las medidas de los lados en otra. Al final les pediremos que encuentren una relación entre las dos columnas hasta que lleguen a concluir que la multiplicación de las longitudes de los dos lados diferentes da como resultado el valor del área. El enunciado geométrico de esta conclusión será «el área del rectángulo es igual al producto de la longitud de la base por la de la altura» 

§  El cuadrado : Como consecuencia inmediata de lo anterior, el valor del área de un cuadrado se calculará multiplicando la longitud de un lado por ella misma

§  El paralelogramo ( ampliación del rectángulo):

        FIGURAAAA

Para calcular el área se trasforma en un rectángulo cortando y trasladando el triángulo ABM a la posición DCN, con lo que obtendremos el rectángulo MBCN, que tiene la misma cantidad de superficie que el paralelogramo inicial, por tanto, tendrá la misma área. Es evidente que el rectángulo y el paralelogramo tienen la misma longitud por base y la misma longitud por altura. Como saben calcular el área del rectángulo, multiplicando la longitud de la base por la de la altura, será la misma expresión la que permitirá calcular, de ahora en adelante, el área de un paralelogramo

§  En el caso del área de un triángulo, dividiremos entre dos la del paralelogramo. El motivo es evidente, la diagonal de un paralelogramo genera siempre dos triángulos iguales, cuya área es la mitad de la del paralelogramo. Así, para calcular el área de un triángulo habrá que «multiplicar la longitud de la base por la de la altura y dividir el resultado entre dos»

                              Figura.

17)  Aplicar los conocimientos sobre magnitudes y medida para resolver e inventar problemas ( lo mismo que en el tema anterior punto 17)